Question

16．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（8，0），點(diǎn)B（0，4），點(diǎn)C（-4，-4），連接BC與x軸相交于點(diǎn)D，連接AC與y軸相交于點(diǎn)E，連接DE．
（1）判斷△ABC的形狀并說明理由；
（2）求證：∠ADB=∠CDE．

Answer 1

分析 （1）由A（8，0），點(diǎn)B（0，4），點(diǎn)C（-4，-4），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到AB=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{{4}^{2}+（4+4）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{（8+4）^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{10}$，于是得到距離；
（2）過C作CF⊥BC交y軸于F，CM⊥x軸于M，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠1=∠2，推出△BOD≌△CMD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=BD，通過△BCF≌△ABD（SAS），得到BD=CF，∠BFC=∠ADB，推出△CDE≌△CFE（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠CDE=∠CFE，等量代換即可得到結(jié)論∠BDA=∠CDE．

解答 解：（1）△ABC是等腰直角三角形，
理由：∵A（8，0），點(diǎn)B（0，4），點(diǎn)C（-4，-4），
∴AB=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{{4}^{2}+（4+4）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
AC=$\sqrt{（8+4）^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{10}$，
∴AB=BC，
∵AB²+BC²=80+80=160=AC²，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形；

（2）過C作CF⊥BC交y軸于F，CM⊥x軸于M，
∵∠ABC=90°，∠AOB=90°，
∴∠1=∠2，
∵CM=OB=4，
在△BOD與△CMD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CMD=∠BOD}\\{∠CDM=∠BDO}\\{CM=BO}\end{array}\right.$，
∴CD=BD，
在△BCF和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{BC=AB}\\{∠BCF=∠ABD}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△ABD（SAS），
∴BD=CF，∠BFC=∠ADB，
∵BD=CD
∴CD=CF，
∵∠ACB=45°，
∴∠FCE=45°，
在△CDE和△CFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CF}\\{∠DCE=∠FCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△CFE（SAS），
∴∠CDE=∠CFE，
∴∠BDA=∠CDE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．