Question

（2008•連云港）我們將能完全覆蓋某平面圖形的最小圓稱(chēng)為該平面圖形的最小覆蓋圓．例如線(xiàn)段AB的最小覆蓋圓就是以線(xiàn)段AB為直徑的圓．
（1）請(qǐng)分別作出圖1中兩個(gè)三角形的最小覆蓋圓；（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
（2）探究三角形的最小覆蓋圓有何規(guī)律？請(qǐng)寫(xiě)出你所得到的結(jié)論；（不要求證明）
（3）某地有四個(gè)村莊E，F(xiàn)，G，H（其位置如圖2所示），現(xiàn)擬建一個(gè)電視信號(hào)中轉(zhuǎn)站，為了使這四個(gè)村莊的居民都能接收到電視信號(hào)，且使中轉(zhuǎn)站所需發(fā)射功率最小（距離越小，所需功率越�。�，此中轉(zhuǎn)站應(yīng)建在何處？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：本題關(guān)鍵要確定最小覆蓋圓的半徑，然后才能作答．中轉(zhuǎn)站應(yīng)建在△EFH的外接圓圓心處（線(xiàn)段EF的垂直平分線(xiàn)與線(xiàn)段EH的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)處）．根據(jù)△EFH是銳角三角形，可知其最小覆蓋圓為△EFH的外接圓，所以中轉(zhuǎn)站建在△EFH的外接圓圓心處，能夠符合題中要求．
解答：解：（1）如圖所示：


（2）若三角形為銳角三角形，則其最小覆蓋圓為其外接圓；
若三角形為直角或鈍角三角形，則其最小覆蓋圓是以三角形最長(zhǎng)邊（直角或鈍角所對(duì)的邊）為直徑的圓．

（3）此中轉(zhuǎn)站應(yīng)建在△EFH的外接圓圓心處（線(xiàn)段EF的垂直平分線(xiàn)與線(xiàn)段EH的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)處）．
理由如下：
∠HEF=∠HEG+∠GEF=47.8°+35.1°=82.9°，
∠EHF=50.0°，∠EFH=47.1°，
∴△EFH是銳角三角形，所以其最小覆蓋圓為△EFH的外接圓，
設(shè)此外接圓為⊙O，直線(xiàn)EG與⊙O交于點(diǎn)E，M，則
∠EMF=∠EHF=50.0°＜53.8°=∠EGF．
故點(diǎn)G在⊙O內(nèi)，從而⊙O也是四邊形EFGH的最小覆蓋圓．
所以中轉(zhuǎn)站建在△EFH的外接圓圓心處，能夠符合題中要求．
點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合三角形外接圓的性質(zhì)作圖，關(guān)鍵要懂得何為最小覆蓋圓．知道若三角形為銳角三角形，則其最小覆蓋圓為其外接圓；若三角形為直角或鈍角三角形，則其最小覆蓋圓是以三角形最長(zhǎng)邊（直角或鈍角所對(duì)的邊）為直徑的圓．