Question

已知：如圖，反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）與一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象交于A（3，1）、B（m，-3）兩點．
（1）求反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）與一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的解析式．
（2）若點P是直線y=kx+b（k≠0）上一點，且OP=

1

2

OA，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：

分析：（1）把A（3，1）代入反比例函數(shù)y=

k

x

可得k的值，即確定反比例函數(shù)的解析式；再把B（m，-3）代入反比例函數(shù)的解析式得到m的值；然后利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)點P點坐標（x，y），根據(jù)OP=

1

2

OA，以及勾股定理可得出點P坐標．

解答：解：（1）把A（3，1）代入反比例函數(shù)y=

k

x

，
得k=3，
∴反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=

3

x

；
再把B（m，-3）代入反比例函數(shù)的解析式，
得m=-1；
∴B（-1，-3），
把點A，B兩點坐標代入一次函數(shù)的解析式得

3k+b=1 -k+b=-3

，
解得k=1，b=-2，
∴一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的解析式為y=x-2；
（2）設(shè)點P點坐標（x，y），過點P作PQ⊥x軸，垂足為Q，
∵A（3，1），∴OA²=10，
∵P點坐標（x，y），∴OP²=x²+y²，
∵OP=

1

2

OA，
∴OP²=

1

4

OA²，
∴x²+y²=

1

4

×10，
把y=x-2代入x²+y²=

1

4

×10，
解得x₁=

3

2

，x₂=

1

2

；
∴點P坐標為P₁（

3

2

，-

1

2

），P₂（

1

2

，-

3

2

）．

點評：本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題，先由點的坐標求函數(shù)解析式，然后由勾股定理得出線段的平方，代入OP=

1

2

OA，得出點的坐標，同時也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．