Question

13．如圖，在等腰△ABC中，AB=BC=4，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∠AOC=60°，點(diǎn)P是射線CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若當(dāng)△PAB為直角三角線時(shí)，試畫出可能的圖形（兩種即可），并求出相應(yīng)圖形中的AP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 利用分類討論，當(dāng)∠APB=90°時(shí)，分兩種情況討論，情況一：易得∠PAB=30°，利用銳角三角函數(shù)得AP的長(zhǎng)；情況二：如圖2，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得出結(jié)論；當(dāng)∠ABP=90°時(shí)，如圖3易得BP，利用勾股定理可得AP的長(zhǎng)；．

解答 解：當(dāng)∠APB=90°時(shí)，分兩種情況．
情況一：如圖1，
∵AO=BO，
∴PO=BO，
∵∠AOC=60°，
∴∠BOP=60°，
∴△BOP為等邊三角形，
∵AB=BC=4，
∴AP=AB•sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$；
情況二：如圖2，
∵AO=BO，∠APB=90°，
∴PO=AO，
∵∠AOC=60°，
∴△AOP為等邊三角形，
∴AP=AO=2，
當(dāng)∠ABP=90°時(shí)，如圖3，
∵∠AOC=∠BOP=60°，
∴∠BPO=30°，
∴BP=$\sqrt{3}$OB=2$\sqrt{3}$，
在直角三角形ABP中，
AP=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
綜上所述，AP的長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$或2$\sqrt{7}$或2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊的中線，利用分類討論，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．