Question

11．已知：四邊形ABCD中，AD=CD，對角線BD平分∠ADC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段BC和線段BD上的點(diǎn)，且點(diǎn)F在線段EC的垂直平分線上，連接EF，AF，AE．
（1）求證：AF=EF；
（2）求證：∠EAF=∠ABD．

Answer 1

分析 （1）由△ADF≌△CDF得AF=CF，又點(diǎn)F在線段EC的垂直平分線上得EF=C即可證明．
（2）先證明∠FEC=∠BAF得A、B、E、F四點(diǎn)共圓故∠EAF=∠EBH=∠ABD．

解答 （1）證明：如圖，連接CF．
∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB，
在△ADF和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠ADF=∠CDF}\\{DF=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CDF，
∴AF=CF，
∵點(diǎn)F在線段EC的垂直平分線上，
∴EF=CF，
∴AF=EF．
（2）證明：∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB
在△ADB和△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADB=∠CDB}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CDB，
∴∠ABD=∠CBD，AB=BC，
在△BAF和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABF=∠CBF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△BFA≌△BFC，
∴∠BAF=∠BCF，
∵FE=FC，
∴∠FEC=∠FCE，
∴∠FEC=∠BAF，
∴A、B、E、F四點(diǎn)共圓，
∴∠EAF=∠EBH=∠ABD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓等知識(shí)，充分利用三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．