Question

3．一棵桃樹上結(jié)了m個桃子，有n只猴子先后來摘挑．第一只猴子摘走了$\frac{1}{2}$，再從樹上摘一個吃掉；第二只猴子摘走剩下的$\frac{1}{2}$，再從樹上摘一個吃掉；第三只猴子摘走剩下的$\frac{1}{2}$，再從樹上摘一個吃掉；第n只猴子也摘走剩下的$\frac{1}{2}$，再從樹上摘一個吃掉．
（1）當m=22，n=3時，求樹上最后剩下的桃子數(shù)；
（2）當n=3時，①用含m的代數(shù)式表示樹上最后剩下的桃子數(shù)；②若樹上最后剩下的桃子個數(shù)為4個，求原來樹上的桃子個數(shù)；
（3）用含m、n的代數(shù)式表示樹上最后剩下的桃子數(shù)．

Answer 1

分析 （1）n=3時，先求出第一、二只猴子摘完還剩下的桃子數(shù)，然后求出第三只猴子摘完還剩下的桃子數(shù)即可；
（2）①與（1）一樣，用m表示第一只猴子摘完還剩下的個數(shù)，再表示第二只猴子摘完還剩下的個數(shù)，最后用m表示第三只猴子摘完還剩下的個數(shù)即可；
②令①中樹上最后剩下的桃子數(shù)等于4列方程，然后解方程求出m即可；
（3）由（2）②三個猴子摘完還剩下的個數(shù)的表示方法，可得到代數(shù)式的變化規(guī)律，從而得到第n只猴子摘完還剩下的桃子的個數(shù)．

解答 解：（1）第一只猴子摘走了$\frac{1}{2}$×22=11，再從樹上摘一個吃掉，還剩10，；第二只猴子摘走剩下的$\frac{1}{2}$，再從樹上摘一個吃掉，還剩10-5-1=4，第三只猴子摘走剩下的$\frac{1}{2}$，再從樹上摘一個吃掉還剩4-2-1=1，
即樹上最后剩下的桃子數(shù)為1；
（2）①當?shù)谝恢缓镒诱�完還剩下（$\frac{1}{2}$m-1）個，當?shù)诙�只猴子摘完還剩下$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$m-1）-1=（$\frac{1}{4}$m-$\frac{3}{2}$）個，第三只猴子摘完還剩下$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{4}$m-$\frac{3}{2}$）-1=（$\frac{1}{8}$m-$\frac{7}{4}$）個，
即n=3時，樹上最后剩下的桃子數(shù)為（$\frac{1}{8}$m-$\frac{7}{4}$）個；
②（$\frac{1}{8}$m-$\frac{7}{4}$）=4，解得m=46，
所以原來樹上的桃子個數(shù)為46個；
（3）第一只猴子摘完還剩下（$\frac{1}{{2}^{1}}$•m-$\frac{{2}^{1}-1}{{2}^{0}}$）個，
當?shù)诙�只猴子摘完還剩下（$\frac{1}{{2}^{2}}$•m-$\frac{{2}^{2}-1}{{2}^{1}}$）個，
第三只猴子摘完還剩下（$\frac{1}{{2}^{3}}$•m-$\frac{{2}^{3}-1}{{2}^{2}}$）個，
所以第n只猴子摘完還剩下（$\frac{1}{{2}^{n}}$•m-$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$）個．

點評 本題考查了列代數(shù)式：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)字、字母和運算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式．