Question

11．已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B₁，C₁的坐標(biāo)分別為（1，0），（1，1）．將△OB₁C₁繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再將其各邊都擴(kuò)大為原來的m倍，使OB₂=OC₁，得到△OB₂C₂；將△OB₂C₂繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再將其各邊都擴(kuò)大為原來的m倍，使OB₃=OC₂，得到△OB₃C₃．如此下去，得到△OB_nC_n． 
（1）m的值為$\sqrt{2}$；
（2）在△OB₂₀₁₆C₂₀₁₆中，點(diǎn)C₂₀₁₆的縱坐標(biāo)為-$\sqrt{2}$²⁰¹⁵．

Answer 1

分析 （1）易得OB₂=mOB₁=OC₁，根據(jù)最初的三角形中OB₁，OC₁的關(guān)系可得m的值；
（2）可得旋轉(zhuǎn)4次后，正好旋轉(zhuǎn)一周，那么可得點(diǎn)C₂₀₁₆的坐標(biāo)跟C₁的坐標(biāo)在一條射線上，且在第四象限，即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）在△OB₁C₁中，
∵OB₁=1，B₁C₁=1，∠OB₁ C₁=90°，
∴∠C₁OB₁=45°，OC₁=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵OB₂=mOB₁，OB₂=OC₁，
∴m=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$；
（2）∵每一次的旋轉(zhuǎn)角是90°，
∴旋轉(zhuǎn)4次后，正好旋轉(zhuǎn)一周，
∴2016÷4=504，
∴點(diǎn)C₂₀₁₆跟C₁的在一條射線上，且在第四象限，
∵第2次旋轉(zhuǎn)后，各邊長是原來的$\sqrt{2}$倍，第3次旋轉(zhuǎn)后，各邊長是原來的$\sqrt{2}$²倍，
∴點(diǎn)C₂₀₁₆的縱坐標(biāo)為-$\sqrt{2}$²⁰¹⁵．
故答案為：-${\sqrt{2}}^{2015}$．

點(diǎn)評 本題考查了坐標(biāo)與圖形的變化-旋轉(zhuǎn)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，求出m的值和找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．