Question

如圖1，已知四邊形OABC中的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為O（0，0），A（0，n），C（m，0）．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)依次沿線段OA，AB，BC向點(diǎn)C移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)路程為z，△OPC的面積S隨著z的變化而變化的圖象如圖2所示．m，n是常數(shù)，m＞1，n＞0．
（1）請(qǐng)你確定n的值和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P是經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，C的拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)，且在雙曲線y=

11

5x

上時(shí)，求這時(shí)四邊形OABC的面積．

Answer 1

分析：（1）本題要根據(jù)圖2的分段函數(shù)進(jìn)行求解．當(dāng)0＜z≤2時(shí)，P在OA上運(yùn)動(dòng)，因此S=

1

2

OC•z=

1

2

mz．當(dāng)2＜z≤3時(shí)，P在AB上運(yùn)動(dòng)，因此S=

1

2

OC•OA=

1

2

mn．由此可得出當(dāng)P從A運(yùn)動(dòng)到B時(shí)，S=

1

2

mn=m，因此n=2．而z的值是由2逐漸增大到3因此AB=1，因此B點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是（1，2）．
（2）求四邊形OABC的面積，關(guān)鍵是確定m的值．（由于P不可能與O，D重合）可分三種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)P在OA上時(shí)，此時(shí)P，O，C不可能構(gòu)成拋物線．因此這種情況不成立．
②當(dāng)P在AB上時(shí)，可先根據(jù)O，C的坐標(biāo)來(lái)列出拋物線的解析式．此時(shí)P的縱坐標(biāo)為2，然后可根據(jù)拋物線的解析式表示出P的橫坐標(biāo)，然后將得出的P的坐標(biāo)代入雙曲線中即可得出m的值．
③當(dāng)P在BC上時(shí)，也要先得出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，具體思路是過(guò)B，P作x軸的垂線，通過(guò)相似三角形來(lái)求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后按①的方法求出m的值．
綜合上述的情況即可得出m的值，也就能確定OC的長(zhǎng)，即可求出梯形OABC的面積．

解答：解：（1）從圖1中可知，當(dāng)P從O向A運(yùn)動(dòng)時(shí)，△POC的面積S=

1

2

mz，z由0逐步增大到2，則S由0逐步增大到m，
故OA=2，n=2．
同理，AB=1，故點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1，2）．

（2）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)O（0，0），C（m，0）
∴c=0，b=-am，
∴拋物線為y=ax²-amx，頂點(diǎn)坐標(biāo)P為（

m

2

，-

1

4

am²）．
∵m＞1，
∴

m

2

＞0，且

m

2

≠m，
∴P不在邊OA上且不與C重合．
∵P在雙曲線y=

11

5x

上，
∴

m

2

×（-

1

4

am²）=

11

5

=-

88

5m3

．
①當(dāng)1＜m≤2時(shí)，

1

2

＜

m

2

≤1，如圖2，分別過(guò)B，P作x軸的垂線，
M，N為垂足，此時(shí)點(diǎn)P在線段AB上，且縱坐標(biāo)為2，
∴-

1

4

am²=2，即a=-

8

m2

．
又∵a=-

88

5m3

，
∴-

88

5m3

=-

8

m2

，m=

11

5

＞2，而1＜m≤2，不合題意，舍去．
②當(dāng)m≥2時(shí)，

m

2

＞1，如圖3，分別過(guò)B，P作x軸的垂線，M，N為垂足，ON＞OM，
此時(shí)點(diǎn)P在線段CB上，易證Rt△BMC∽R(shí)t△PNC，
∴BM：PN=MC：NC，即2：PN=（m-1）：

m

2

，
∴PN=

m

m-1

而P的縱坐標(biāo)為-

1

4

am²，
∴

m

m-1

=-

1

4

am²，即a=

4

m(1-m)

．
而a=-

88

5m3

，
∴-

88

5m3

=

4

m(1-m)

化簡(jiǎn)得：5m²-22m+22=0．
解得：m=

11± 11

5

，
但m≥2，所以m=

11- 11

5

舍去，
取m=

11+ 11

5

．
由以上，這時(shí)四邊形OABC的面積為：

1

2

（AB+OC）×OA=

1

2

（1+m）×2=

16+ 11

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的相關(guān)知識(shí)、三角形相似等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，能力要求較高．考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．