Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿線段AB向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒3cm的速度沿線段DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P到達(dá)B點(diǎn)或點(diǎn)Q到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，P、Q運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t (秒)．

（1）求CD的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)四邊形PBQD為平行四邊形時(shí)，求t的值；

（3）在點(diǎn)P、點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使得PQ⊥AB？若存在，請(qǐng)求出t的值并說(shuō)明理由；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

Answer 1

【答案】（1）16；（2）2；（3）不存在．理由見(jiàn)解析

【解析】（1）作AM⊥CD于M，由勾股定理求AM，再得CD=DM+CM=DM+AB；

（2）由題意：BP=AB﹣AP=10﹣2t．DQ=3t，根據(jù)：當(dāng)BP=DQ時(shí)，四邊形PBQD是平行四邊形，可得10﹣2t=3t,可求t；

（3）作AM⊥CD于M，連接PQ．假設(shè)存在，則AP=MQ=3t﹣6，即2t=3t﹣6，求出的t不符合題意，故不存在.

解（1）如圖1，作AM⊥CD于M，

則由題意四邊形ABCM是矩形，

在Rt△ADM中，

∵DM2=AD2﹣AM2，AD=10，AM=BC=8，

∴AM=

=6，

∴CD=DM+CM=DM+AB=6+10=16．

（2）當(dāng)四邊形PBQD是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在DC上，

如圖2中，由題意：BP=AB﹣AP=10﹣2t．DQ=3t，

當(dāng)BP=DQ時(shí)，四邊形PBQD是平行四邊形，

∴10﹣2t=3t，

∴t=2，

（3）不存在．理由如下：

如圖3，作AM⊥CD于M，連接PQ．

由題意AP=2t．DQ=3t，

由（1）可知DM=6，∴MQ=3t﹣6，

若2t=3t﹣6， 解得t=6，

∵AB=10，

∴t≤=5，

而t=6＞5，故t=6不符合題意，t不存在．