Question

20．如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，BC=BA．
（1）求證：以A為圓心，AD為半徑的圓與BC相切；
（2）若AD=5，CD=2，求梯形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）如圖1，過A作AM⊥BC于M，求出∠DCA=∠ACB，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出AD=AM，根據(jù)切線的判定得出即可；
（2）如圖2，過C作CN⊥AB于N，根據(jù)勾股定理得出方程，求出AB，根據(jù)梯形的面積公式求出即可．

解答 （1）證明：如圖1，過A作AM⊥BC于M，

∵DC∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，
∵BC=BA，
∴∠CAB=∠ACB，
∴∠DCA=∠ACB，
∵AB∥CD，AB⊥AD，
∴AD⊥DC，
∴AD=AM，
∵AM⊥BC，
∴以A為圓心，AD為半徑的圓與BC相切；

（2）解：如圖2，過C作CN⊥AB于N，

∵AD⊥AB，AD⊥DC，
∴∠CNB=90°，∠CDA=∠DAN=∠ANC=90°，
∴四邊形ADCN是矩形，
∴AD=NC=5，CD=AN=2，
由勾股定理得：CN²+BN²=BC²，
5²+（AB-2）²=AB²，
解得：AB=$\frac{29}{4}$．
∴梯形ABCD的面積是$\frac{1}{2}$×（CD+AB）×AD=$\frac{1}{2}$×（2+$\frac{29}{4}$）×5=$\frac{185}{8}$．

點評 本題考查了切線的判定，勾股定理，矩形的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．