Question

13．如圖，∠BAC=60°，∠CDE=120°，AB=AC，DC=DE，連接BE，P為BE的中點(diǎn)．

（1）如圖1，若A、C、D三點(diǎn)共線，求∠PAC的度數(shù)；
（2）如圖2，若A、C、D三點(diǎn)不共線，求證：AP⊥DP；
（3）如圖3，若點(diǎn)C線段BE上，AB=1，CD=2，請(qǐng)直接寫出PD的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)AP，DE，相交于點(diǎn)F，利用平行線的判定定理可得AB∥DE，由全等三角形的判定可得△ABP≌△FEP，利用全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)果；
（2）延長(zhǎng)AP到點(diǎn)F，使PF=AP，連接DF，EF，AD，首先由全等三角形的判定定理可得△BPA≌△EPF，由全等三角形的性質(zhì)可得AC=FE，利用多邊形的內(nèi)角和定理可得∠ACD=∠FED，可證得△ACD≌△FED，可得AD=FD，可得結(jié)論；
（3）連接AP，AD，易知∠ACD=90°，所以AD=$\sqrt{5}$，在Rt△APD中，∠PAD=30°，所以，PD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

解答 （1）解：如圖1，延長(zhǎng)AP，DE，相交于點(diǎn)F，
∵∠BAC=60°，∠CDE=120°
∴∠BAC+∠CDE=180°，
∵A，C，D三點(diǎn)共線，
∴AB∥DE，
∴∠B=∠PEF，∠BAP=∠EFP，
在△ABP與△FEP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠EFP}\\{∠B=∠PEF}\\{BP=PE}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△FEP（AAS），
∴AB=FE，
∵AB=AC，DC=DE，
∴AD=DF
∴∠PAC=∠PFE，
∵∠CDE=120°，
∴∠PAC=30°；

（2）證明：如圖2，延長(zhǎng)AP到點(diǎn)F，使PF=AP，連接DF，EF，AD，
在△BPA與△EPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{PF=AP}\\{∠EPF=∠BPA}\\{PE=PB}\end{array}\right.$，
∴△BPA≌△EPF（SAS），
∴AB=FE，∠PBA=∠PEF，
∵AC=BC，
∴AC=FE，
在四邊形BADE中，∵∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA=360°，
∵∠BAC=60°，∠CDE=120°，
∴∠CAD+∠ADC+∠DEB+∠EBA=180°．
∵∠CAD+∠ADC+∠ACD=180°，
∴∠ACD=∠DEB+∠EBA，
∴∠ACD=∠FED，
在△ACD與△FED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=FE}\\{∠ACD=∠FED}\\{CD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△FED（SAS），
∴AD=FD，
∵AP=FP，
∴AP⊥DP；     

（3）解：連接AP，AD，
∵∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∵DC=DE，∠CDE=120°，
∴∠DCE=30°，
∴∠ACD=90°，
∵AB=AC=1，CD=2，
∴AD=$\sqrt{5}$，
由（2）知，AP⊥PD，
∴A、C、P、D四點(diǎn)共圓，
∵∠PCD=30°，
∴∠PAD=30°，
∵在Rt△APD中，∠PAD=30°，
∴PD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理等，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線，證得三角形全等是解答此題的關(guān)鍵．