Question

定義：如圖1，平面上兩條直線(xiàn)AB、CD相交于點(diǎn)O，對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)M，點(diǎn)M到直線(xiàn)AB、CD的距離分別為p、q，則稱(chēng)有序?qū)崝?shù)對(duì)（p，q）是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”．根據(jù)上述定義，“距離坐標(biāo)”為（0,0）點(diǎn)有1個(gè)，即點(diǎn)O．

（1）“距離坐標(biāo)”為（1，0）點(diǎn)有       個(gè)；

 

（2）如圖2，若點(diǎn)M在過(guò)點(diǎn)O且與直線(xiàn)CD垂直的直線(xiàn)l上時(shí)，點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”為

（p，q），且∠BOD=120°．請(qǐng)畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出p，q的關(guān)系式；

（3）如圖3，點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”為（1，），且∠AOB=30°，求OM的長(zhǎng)．

Answer 1

答案：（1）2；……………………………………………………………………………………1

（2）

…………………………………………………………2

過(guò)M作MN⊥AB于N

∵直線(xiàn)l⊥CD于O，∠BOD=120°，

∴∠MON=30°.

∵ON=p，OM=q，

∴…………………………………………………………………………………………3

（3）分別作點(diǎn)M關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E、F，連接EF、OE、OF、EM、FM……………………4

∴△OEC≌△OMC，△OFD≌△OMD．

∴∠AOM=∠AOE，∠BOM=∠BOF，

OM=OE=OF．

∴∠EOF=60°．……………………………………………………5

∴OM=OE=OF=EF．

∵MD=1，MC=，

∴MF=2，ME=．

∵∠AOB=30°，

∴∠CMD=150°．…………………………………………………6

過(guò)F做FG⊥CM，交CM延長(zhǎng)線(xiàn)于G，

∴∠FMG=30°．

在Rt△FMG中，FG=1，MG=．

在Rt△EFG中，FG=1，EG=．

∴EF==．

∴OM=．