Question

13．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0
（1）試判斷上述方程根的情況．
（2）若以上述方程的兩個根為橫坐標、縱坐標的點恰在反比例函數(shù)$y=\frac{m}{x}$的圖象上，求滿足條件的m的最小值．

Answer 1

分析 （1）表示出方程根的判別式，根據(jù)根的判別式的正負即可確定出方程根的情況；
（2）設(shè)方程的兩根為x₁，x₂，根據(jù)題意得m=x₁x₂，再利用根與系數(shù)關(guān)系表示出x₁x₂，列出m關(guān)于k的二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)性質(zhì)求出m的最小值即可；

解答 解：∵△=b²-4ac=（2k+3）²-4×（k²+3k+2）=1＞0，
∴方程有兩個相等實數(shù)根；
（2）（2）設(shè)方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的兩個根為x₁，x₂，根據(jù)題意得m=x₁x₂，
又由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得x₁x₂=k²+3k+2，
∴m=k²+3k+2=（k+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
則當k=-$\frac{3}{2}$時，m取得最小值-$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根的情況判斷，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．