Question

如圖，已知直線y=x與拋物線交于A、B兩點(diǎn)．

（1）求交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）記一次函數(shù)y=x的函數(shù)值為y₁，二次函數(shù)的函數(shù)值為y₂．若y₁＞y₂，求x的取值范圍；
（3）在該拋物線上存在幾個(gè)點(diǎn)，使得每個(gè)點(diǎn)與AB構(gòu)成的三角形為等腰三角形？并求出不少于3個(gè)滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）A（0，0），B（2，2）。
（2）0＜x＜2。
（3）符號(hào)條件的點(diǎn)P有4個(gè)，
其中P₁（，），P₂（，），P₃（﹣2，2）。

試題分析：（1）根據(jù)題意可以列出關(guān)于x、y的方程組，通過解方程組可以求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)。
（2）根據(jù)函數(shù)圖象可以直接回答問題；
（3）需要分類討論：以AB為腰和以AB為底的等腰三角形。
解：（1）如圖，∵直線y=x與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，
∴，解得，或。
∴A（0，0），B（2，2）。
（2）由（1）知，A（0，0），B（2，2）．
∵一次函數(shù)y=x的函數(shù)值為y₁，二次函數(shù)的函數(shù)值為y₂，
∴當(dāng)y₁＞y₂時(shí)，根據(jù)圖象可知x的取值范圍是：0＜x＜2。
（3）該拋物線上存在4個(gè)點(diǎn)，使得每個(gè)點(diǎn)與AB構(gòu)成的三角形為等腰三角形。理由如下：
∵A（0，0），B（2，2），∴B=。
根據(jù)題意，可設(shè)P（x，），
①當(dāng)PA=PB時(shí)，點(diǎn)P是線段AB的中垂線與拋物線的交點(diǎn)，

易求線段AB的中垂線的解析式為y=﹣x+2，
則，
解得，，。
∴P₁（，），P₂（，）。
②當(dāng)PA=AB時(shí)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性知，點(diǎn)P與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，即P₃（﹣2，2）。
③當(dāng)AB=PB時(shí)，點(diǎn)P₄的位置如圖所示。
綜上所述，符號(hào)條件的點(diǎn)P有4個(gè)，
其中P₁（，），P₂（，），P₃（﹣2，2）。