Question

2．如圖，∠BAC=60°，半徑長(zhǎng)為1的圓O與∠BAC的兩邊相切，P為圓O上一動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑的圓P交射線AB、AC于D、E兩點(diǎn)，連接DE，則線段DE長(zhǎng)度的最大值為3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先確定線段DE的長(zhǎng)與半徑AP的關(guān)系，通過(guò)圓心角等于圓周角的一半，再結(jié)合特殊角的三角函數(shù)得出DE=$\sqrt{3}$AP，當(dāng)AP最大時(shí)線段DE最長(zhǎng)，由點(diǎn)P在⊙O上可找出AP的最大值，從而得出DE的最大值．

解答 解：連接EP，DP，過(guò)P點(diǎn)作PM垂直DE于點(diǎn)M，過(guò)O做OF⊥AC與F，連接AO，如圖，

∵∠BAC=60°，
∴∠DPE=120°．
∵PE=PD，PM⊥DE，
∴∠EPM=60°，
∴ED=2EM=2EP•sin60°=$\sqrt{3}$EP=$\sqrt{3}$PA．
當(dāng)P與A、O共線時(shí)，且在O點(diǎn)右側(cè)時(shí)，⊙P直徑最大．
∵⊙O與∠BAC兩邊均相切，且∠BAC=60°，
∴∠OAF=30°，OF=1，
∴AO=$\frac{1}{sin30°}$=2，AP=2+1=3，
∴DE=$\sqrt{3}$PA=3$\sqrt{3}$．
故答案為：3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)中的解決極值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是找出DE與AP之間的關(guān)系，再解決切線的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題．本題屬于中等難度題，難點(diǎn)在于找到DE與半徑AP之間的關(guān)系，只有找到DE與AP之間的關(guān)系，才能說(shuō)明當(dāng)A、O、P三點(diǎn)共線時(shí)DE最大．