Question

在△ABC中，CA=CB，在△AED中，DA=DE，點D、E分別在CA、AB上．
（1）如圖①，若∠ACB=∠ADE=90°，則CD與BE的數(shù)量關(guān)系是

 

；
（2）若∠ACB=∠ADE=120°，將△AED繞點A旋轉(zhuǎn)至如圖②所示的位置，則CD與BE的數(shù)量關(guān)系是

 

；，
（3）若∠ACB=∠ADE=2α（0°＜α＜90°），將△AED繞點A旋轉(zhuǎn)至如圖③所示的位置，探究線段CD與BE的數(shù)量關(guān)系，并加以證明（用含α的式子表示）．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：計算題

分析：（1）作DM∥AB，交BC于點M，由已知求出四邊形EBMD是平行四邊形，得出DM=BE，利用等腰直角三角形求出DM=

2

CD，進而得出BE=

2

CD； 
（2）由

AC

AB

=

AD

AE

=

3

3

，∠CAD=∠BAE=30°+∠BAD，得出△CAD∽△BAE，得出BE=

3

CD；
（3）分別過點C、D作CM⊥AB于點M，DN⊥AE于點N，在Rt△ACM和Rt△ADN中，得出

AM

AC

=

AN

AD

=sinα，

AB

AC

=

AE

AD

=2sinα，又∠CAD=∠BAE，求出△BAE∽△CAD，得出

BE

CD

=

AB

AC

=2sinα，即可得出BE=2DC•sinα．

解答：
解：（1）如圖①，作DM∥AB，交BC于點M，
∵∠ACB=∠ADE=90°，CA=CB，DA=DE，
∴∠CAB=∠CBA=∠DEA=45°，
∴DE∥BC，
∴四邊形EBMD是平行四邊形，
∴DM=BE，
∵DM∥AB，
∴∠CDM=45°，
∴DM=

2

CD，
∴BE=

2

CD； 
故答案為：BE=

2

CD；  
（2）如圖②，

∵CA=CB，∠ACB=120°
∴∠CAB=∠CBA=30°，
∴AB=

3

AC，
同理AE=

3

AD，
∴

AC

AB

=

AD

AE

=

3

3

，∠CAD=∠BAE=30°+∠BAD，
∴△CAD∽△BAE，

CD

BE

=

AC

AB

=

1

3

∴BE=

3

CD；
故答案為：BE=

3

CD；  
（3）BE=2CD•sinα，
證明：如圖③，分別過點C、D作CM⊥AB于點M，DN⊥AE于點N，

∵CA=CB，DA=DE，∠ACB=∠ADE=2α，
∴∠CAB=∠DAE，∠ACM=∠ADN=α，AM=

1

2

AB，AN=

1

2

AE．
∴∠CAD=∠BAE，
Rt△ACM和Rt△ADN中，
sin∠ACM=

AM

AC

，sin∠ADN=

AN

AD

，
∴

AM

AC

=

AN

AD

=sinα，
∴

AB

AC

=

AE

AD

=2sinα，
又∵∠CAD=∠BAE，
∴△BAE∽△CAD，
∴

BE

CD

=

AB

AC

=2sinα
∴BE=2DC•sinα．

點評：本題主要考查了相似形綜合題，解題的關(guān)鍵是利用鄰邊及夾角的關(guān)系來求出兩三角形相似．