Question

如圖，直角坐標(biāo)內(nèi)有一個等腰梯形ABCD，DC∥AB，A（-4，0），B（5，0），D在y軸上，C在反比例函數(shù)y=

3

x

的圖象上，線段BC與圖象交于E．
（1）求D點坐標(biāo)；
（2）小華猜想：E點的橫坐標(biāo)為4．你認為他的猜想成立嗎？說明理由；
（3）點P在線段AD上運動，當(dāng)以A、O、P為頂點的三角形是等腰三角形時，延長OP，交直線DC于F，求梯形AFCB的面積．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）作CF⊥x軸于點F，則BF=OA=4，則OF=OB-BF=5-4=1，即可求得C的橫坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)的解析式即可求得縱坐標(biāo)；
（2）利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，把x=4代入直線BC的解析式和反比例函數(shù)的解析式，求得的縱坐標(biāo)相等時成立；
（3）分當(dāng)AP=OP，AP=AO和PA=PO三種情況進行討論，利用三角形相似即可求解．

解答：解：（1）作CF⊥x軸于點F，則BF=OA=4，則OF=OB-BF=5-4=1，
在y=

3

x

中令x=1，解得：y=3，
則OD=CF=3，
則D的坐標(biāo)是（0，3）；
（2）C的坐標(biāo)是（1，3），
設(shè)直線BC的解析式是y=kx+b，根據(jù)題意得：

5k+b=0 k+b=3

，
解得：

k=- 3 4 b= 15 4

，
則直線CD的解析式是：y=-

3

4

x+

15

4

，
在y=-

3

4

x+

15

4

中令x=4，解得：y=3，
在y=

3

x

中，令x=4，解得：y=3，
則E點的橫坐標(biāo)為4正確；
（3）設(shè)直線AD的解析式是y=mx+n，根據(jù)題意得：

-4m+n=0 n=3

，
解得：

m= 3 4 n=3

，
則直線AD的解析式是y=

3

4

x+3．
當(dāng)AP=OP時，P在OA的延長線上，則P的橫坐標(biāo)是-2，
在y=

3

4

x+3中，令x=-2時，y=

3

2

，則P的坐標(biāo)是（-2，

3

2

）；
當(dāng)AP=AO=4時，過P作PM⊥x軸于點M，則△APM∽△ADO，

PM

OD

=

AM

AO

=

AP

AD

=

4

5

，
則PM=

4

5

OD=

4

5

×3=

12

5

，AM=

4

5

AO=

4

5

×4=

16

5

．
則OM=4-

16

5

=

4

5

，P的坐標(biāo)是（-

4

5

，

12

5

）．
當(dāng)PA=PO時，則P一定不在線段AD上，此時不成立．
總之，P的坐標(biāo)是（-2，

3

2

）或（-

4

5

，

12

5

）．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及等腰梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確求得P的坐標(biāo)是關(guān)鍵．