Question

如圖，A、B、C、P四點(diǎn)均在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上．

（1）判斷△PBA與△ABC是否相似，并說(shuō)明理由；
（2）求∠BAC的度數(shù)；
（3）在線段BC所經(jīng)過(guò)的格點(diǎn)上是否存在一點(diǎn)Q（點(diǎn)P除外），使得以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)標(biāo)出點(diǎn)Q的位置，并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）△PBA與△ABC相似，
理由如下：
∵AB==，BC=5，BP=1，
∴=，
∵∠PBA=∠ABC，
∴△PBA∽△ABC；
（2）∵△PBA∽△ABC，
∴∠BAC=∠BPA，
∵∠BPA=90°+45°=135°，
∴∠BAC=135°．
（3）存在，理由如下：如圖所示：
∵BC=5，QC=2，AC=，
∴，
又∵∠QCA=∠ACB，
∴△QCA∽△ABC．
分析：（1）△PBA與△ABC相似，利用勾股定理計(jì)算出AB的長(zhǎng)，利用由兩邊的比值和一個(gè)夾角相等的兩個(gè)三角形相似可證明結(jié)論成立；
（2）由（1）可知：∠BAC=∠BPA，因?yàn)椤螧PA易求，問(wèn)題得解；
（3）在線段BC所經(jīng)過(guò)的格點(diǎn)上存在一點(diǎn)Q（點(diǎn)P除外），使得以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，考查了相似三角形的證明和相似三角形對(duì)應(yīng)邊比值相等的性質(zhì)，本題中分別求AB，BC，BP三邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．