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【題目】如圖,已知一次函數y=﹣x+b的圖象過點A(0,3),點p是該直線上的一個動點,過點P分別作PM垂直x軸于點M,PN垂直y軸于點N,在四邊形PMON上分別截。篜C=MP,MB=OM,OE=ON,ND=NP.

(1)b=  ;

(2)求證:四邊形BCDE是平行四邊形;

(3)在直線y=﹣x+b上是否存在這樣的點P,使四邊形BCDE為正方形?若存在,請求出所有符合的點P的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)3;(2)證明見解析;(3)在直線y=﹣x+b上存在這樣的點P,使四邊形BCDE為正方形,P點坐標是(2,2)或(﹣6,6).

【解析】分析:(1)根據待定系數法,可得b的值;(2)根據矩形的判定與性質,可得PM與ON,PN與OM的關系,根據PC=MP,MB=OM,OE=ON,NO=NP,可得PC與OE,CM與NE,BM與ND,OB與PD的關系,根據全等三角形的判定與性質,可得BE與CD,BC與DE的關系,根據平行四邊形的判定,可得答案;(3)根據正方形的判定與性質,可得BE與BC的關系,∠CBM與∠EBO的關系,根據全等三角形的判定與性質,可得OE與BM的關系,可得P點坐標間的關系,可得答案.

本題解析:

(1)一次函數y=﹣x+b的圖象過點A(0,3),

3=﹣×0+b,解得b=3.

故答案為:3;

(2)證明:過點P分別作PM垂直x軸于點M,PN垂直y軸于點N,

∴∠M=∠N=∠O=90°,

∴四邊形PMON是矩形,

∴PM=ON,OM=PN,∠M=∠O=∠N=∠P=90°.

∵PC=MP,MB=OM,OE=ON,NO=NP,

∴PC=OE,CM=NE,ND=BM,PD=OB,

在△OBE和△PDC中,

∴△OBE≌△PDC(SAS),

BE=DC.

在△MBC和△NDE中,

,

∴△MBC≌△NDE(SAS),

DE=BC.

∵BE=DC,DE=BC,

∴四邊形BCDE是平行四邊形;

(3)設P點坐標(x,y),

當△OBE≌△MCB時,四邊形BCDE為正方形,

OE=BM,

當點P在第一象限時,即y=x,x=y.

P點在直線上,

,

解得

當點P在第二象限時,﹣x=y

,

解得

在直線y=﹣x+b上存在這樣的點P,使四邊形BCDE為正方形,P點坐標是(2,2)或(﹣6,6).

練習冊系列答案
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