Question

17．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD為AB邊上的中線，過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，過點(diǎn)C作AB的平行線與DE的延長線交于點(diǎn)F，連接BF，AE．
（1）求證：四邊形BDCF為菱形；
（2）若四邊形BDCF的面積為24，tan∠EAC=$\frac{2}{3}$，求CF的長．

Answer 1

分析 （1）求出四邊形ADFC是平行四邊形，推出CF=AD=BD，根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形BDCF是平行四邊形，求CD=BD，根據(jù)菱形的判定得出即可；
（2）設(shè)CE=2x，AC=3x，求出BC=4x，DF=AC=3x，根據(jù)菱形的面積公式求出x，求出EF和CE，根據(jù)勾股定理求出CF即可．

解答 （1）證明：DE⊥BC，∠ACB=90°，
∴∠BED=∠ACB，
∴DF∥AC，
∵CF∥AB，
∴四邊形ADFC是平行四邊形，
∴AD=CF，
∵D為AB的中點(diǎn)，
∴AD=BD，
∴BD=CF，
∵BD∥CF，
∴四邊形BDCF是平行四邊形，
∵∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，
∴DC=BD，
∴四邊形BDCF是菱形；

（2）解：∵tan∠EAC=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{2}{3}$，
∴設(shè)CE=2x，AC=3x，
∵四邊形BDCF是菱形，
∴BE=CE=2x，
∴BC=4x，
∵四邊形ADFC是平行四邊形，
∴DF=AC=3x，
∵四邊形BDCF的面積為24，
∴$\frac{1}{2}×BC×DF$=24，
∴$\frac{1}{2}•4x•3x=24$，
解得：x=2（負(fù)數(shù)舍去），
∴CE=4，DF=6，
∴DE=EF=$\frac{1}{2}$×6=3，
∵DE⊥BC，
∴∠CEF=90°，
∴由勾股定理得：CF=$\sqrt{C{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，能熟記菱形的性質(zhì)和判定定理是解此題的關(guān)鍵．