(2007•云南)已知:如圖,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(1,0)、B(5,0)、C(0,5)三點(diǎn).
(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若過點(diǎn)C的直線y=kx+b與拋物線相交于點(diǎn)E(4,m),請(qǐng)求出△CBE的面積S的值;
(3)在拋物線上求一點(diǎn)P,使得△ABP為等腰三角形,并寫出P點(diǎn)的坐標(biāo);
附加:(4)除(3)中所求的P點(diǎn)外,在拋物線上是否還存在其它的點(diǎn)P使得△ABP為等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出一共有幾個(gè)滿足條件的點(diǎn)P(要求簡(jiǎn)要說明理由,但不證明);若不存在這樣的點(diǎn)P,請(qǐng)說明理由.

【答案】分析:(1)將已知三點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程,可得abc的值,進(jìn)而可得拋物線的方程;
(2)根據(jù)題意,易得直線的方程,進(jìn)而可得D的坐標(biāo),最后代入可得△CBE的面積;
(3)根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性,易得答案;
(4)假設(shè)存在,以A、B為圓心半徑長為4畫圓,分析可得在拋物線上還存在其它的點(diǎn)P使得△ABP為等腰三角形.
解答:解:(1)∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)、B(5,0),
∴y=a(x-1)(x-5).
又∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)C(0,5),
∴5a=5,a=1,
∴拋物線的解析式為y=(x-1)(x-5)=x2-6x+5.(3分)

(2)∵E點(diǎn)在拋物線上,
∴m=42-4×6+5=-3.
∵直線y=kx+b過點(diǎn)C(0,5)、E(4,-3),
,
解得k=-2,b=5.(7分)
設(shè)直線y=-2x+5與x軸的交點(diǎn)為D,
當(dāng)y=0時(shí),-2x+5=0,
解得x=
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為(,0).(8分)
∴S=S△BDC+S△BDE
==10.(9分)

(3)∵拋物線的頂點(diǎn)P(3,-4)既在拋物線的對(duì)稱軸上又在拋物線上,
∴點(diǎn)P(3,-4)為所求滿足條件的點(diǎn).(13分)

(4)除P點(diǎn)外,在拋物線上還存在其它的點(diǎn)P使得△ABP為等腰三角形.(1分)
理由如下:
,(2分)
∴分別以A、B為圓心半徑長為4畫圓,分別與拋物線交于點(diǎn)B、P1、P2、P3、A、P4、P5、P6,除去B、A兩個(gè)點(diǎn)外,其余6個(gè)點(diǎn)為滿足條件的點(diǎn).
點(diǎn)評(píng):本題考查學(xué)生將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合處理問題、解決問題的能力.
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