Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線y＝ax²＋bx－3（a≠0）交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為5．點(diǎn)P是直線AB下方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)C，作PD⊥AB于點(diǎn)D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

①用含m的代數(shù)式表示線段PD的長，并求出線段PD長的最大值；

②連結(jié)PB，線段PC把△PDB分成兩個(gè)三角形，是否存在適合的m的值，使這兩個(gè)三角形的面積比為1:2．若存在，直接寫出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）在中，當(dāng)y=0時(shí)，x=-1；當(dāng)y=5時(shí)，x=4．

A(-1，0)、B(4，5)     ----------------------------1分

將A(-1，0)、B(4，5)分別代入y＝ax²＋bx－3中，

得

解得，．

∴所求解析式為y＝x²-2x-3   -------------------------3分

（2）①設(shè)直線AB交y軸于點(diǎn)E，求得E（0，1），∴OA=OE，∠AEO=45°,

∠ACP=∠AEO=45°, ∴．   

設(shè)，則，

∴．     分

∴．

∴PD的最大值為．     

②當(dāng)m=0或m=3時(shí)，PC把△PDB分成兩個(gè)三角形的面積比為1:2．