Question

如圖，⊙O的直徑AB=4，AC是弦，沿AC折疊劣弧

AC

，記折疊后的劣弧為

AmC

．

（1）如圖1，當

AmC

經(jīng)過圓心O時，求AC的長；
（2）如圖2，當

AmC

與AB相切于A時，①畫出

AmC

所在圓的圓心P；②求AC的長；
（3）如圖3，設

AmC

與直徑AB交于D，DB=x，試用x的代數(shù)式表示AC（直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）作半徑OE⊥AC于F，如圖1，根據(jù)折疊的性質(zhì)得OF=

1

2

OE=1，由OE⊥AC，根據(jù)垂徑定理得AF=CF，再在Rt△OAF中，利用勾股定理計算出AF=

3

，所以AC=2AF=2

3

；
（2）①由于

AmC

與AB相切于A點，根據(jù)切線的性質(zhì)AB垂直過A點的半徑，所以作AP⊥AB，再截取AP=2，則P點為所求，如圖2；
②連結(jié)PC、OC，易證得四邊形PAOC為菱形，加上∠PAO=90°，所以四邊形PAOC為正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得AC=

2

OA=2

2

；
（3）設弧AMC所在圓的圓心為P，作PH⊥AB于H，連結(jié)OP、PD、BC，如圖3，由AB=4，BD=x得AD=4-x，根據(jù)垂徑定理由PH⊥AD得到AH=DH=

1

2

AD=2-

1

2

x，則OH=OA-AH=

1

2

x，利用勾股定理得PH=

PA2-AH2

=

2x- 1 4 x2

，OP=

PH2+OH2

=

2x

，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到OP⊥AC，由圓周角定理得到∠ACB=90°，所以OP∥BC，得到∠POH=∠CBA，可證得Rt△ACB∽Rt△PHO，然后利用相似比得到AC=

4• 2x- 1 4 x2

2x

，再進行二次根式的化簡即可．

解答：解：（1）作半徑OE⊥AC于F，如圖1，
∵沿AC折疊劣弧

AC

，記折疊后的劣弧為

AmC

．
∴OF=

1

2

OE=

1

2

×2=1，
∵OE⊥AC，
∴AF=CF，
在Rt△OAF中，OA=2，OF=1，
∴AF=

OA2-OF2

=

3

，
∴AC=2AF=2

3

；
（2）①過A點作AP⊥AB，再截取AP=2，則P點為所求，如圖2；
②連結(jié)PC、OC，
∵AP=OA=OC=PC=2，
∴四邊形PAOC為菱形，
而∠PAO=90°，
∴四邊形PAOC為正方形，
∴AC=

2

OA=2

2

；
（3）設弧AMC所在圓的圓心為P，
作PH⊥AB于H，連結(jié)OP、PD、BC，如圖3，
∵AB=4，BD=x，
∴AD=4-x，
∵PH⊥AD，
∴AH=DH=

1

2

AD=2-

1

2

x，
∴OH=OA-AH=

1

2

x，
在Rt△PAH中，PH=

PA2-AH2

=

2x- 1 4 x2

，
在Rt△OPH中，OP=

PH2+OH2

=

2x

，
∵沿AC折疊劣弧

AC

，記折疊后的劣弧為

AmC

，
∴OP⊥AC，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴OP∥BC，
∴∠POH=∠CBA，
∴Rt△ACB∽Rt△PHO，
∴

AC

PH

=

AB

PO

，
∴AC=

4• 2x- 1 4 x2

2x

=

16-2x

．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、圓周角定理和切線的性質(zhì)；會利用勾股定理和相似比進行幾何計算；理解折疊的性質(zhì)和正方形的判定與性質(zhì)．