Question

如圖，已知：正方形ABCD中，∠BAC的平分線交BC于E，求證：AB+BE=AC．
方法（一）：
方法（二）：

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：方法一：過點E作EF⊥AC于F，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得BE=EF，再利用“HL”證明Rt△ABE和Rt△AFE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=AF，再求出△CEF是等腰直角三角形，然后得到EF=CF，最后根據(jù)AF+CF=AC等量代換即可得證；
方法二：延長AB到H，使BH=BE，從而得到△BHE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠H=45°，根據(jù)正方形的對角線平分一組對角可得∠ACB=45°，從而得到∠ACB=∠H，再根據(jù)角平分線的定義可得∠BAE=∠CAE，然后利用“角角邊”證明△AHE和△ACE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AH=AC，再根據(jù)AB+BH=AH等量代換即可得證．

解答：證明：方法一：如圖1，過點E作EF⊥AC于F，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，∠ACB=45°，
∵AE是∠BAC的平分線，
∴BE=EF，
在Rt△ABE和Rt△AFE中，

AE=AE BE=EF

，
∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL），
∴AB=AF，
∵EF⊥AC，∠ACB=45°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF=CF，
∵AF+CF=AC，
∴AB+BE=AC；
方法二：如圖2，延長AB到H，使BH=BE，
所以，△BHE是等腰直角三角形，
所以，∠H=45°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠H，
∵AE是∠BAC的平分線，
∴∠BAE=∠CAE，
在△AHE和△ACE中，

∠BAE=∠CAE ∠ACB=∠H AE=AE

，
∴△AHE≌△ACE（AAS），
∴AH=AC，
∵AB+BH=AH，
∴AB+BE=AC．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用“截長補(bǔ)短法”作出輔助線是解題的關(guān)鍵．