Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CM為斜邊AB的中線，將△ACM沿CM折疊至如圖所示位置，連接BD．
（1）求證：△BCM是正三角形；
（2）若BC=2，求四邊形BCMD的面積．

Answer 1

證明：（1）在Rt△ABC中，因為CM為斜邊AB的中線．
所以，BM=CM．
又因為∠A=30°，所以，∠ABC=60°．
所以BM=CM=BC
即△BCM為正三角形．
（2）因為∠DMC=∠AMC=120°．
所以，∠DMB=60°，
所以，DM∥BC，又因為DM=AM=BM=BC．
所以四邊形BCMD為平行四邊形．
所以S_△BCMD=2S_△BCM=．
分析：（1）由在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BM=CM，又因為∠A=30°，所以，∠ABC=60°，所以BM=CM=BC進而證明：△BCM是正三角形；
（2）首先證明四邊形BCMD是平行四邊形，所以S_△BCMD=2S_△BCM=．
點評：本題考查了直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半這一性質(zhì)和等邊三角形的判定以及性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)．