Question

1．如圖，在半圓中AB為直徑，弦AC=CD=6$\sqrt{2}$，DE=EB=2，弧CDE的長度為$\frac{5\sqrt{2}}{2}π$．

Answer 1

分析 過點E作EH⊥CD于H，連接OC、OE、AE，如圖所示．根據(jù)弧、弦和圓周角的關系可得∠COE=90°，根據(jù)圓周角定理可得∠CAE=45°，再根據(jù)圓內接四邊形對角互補及同角的補角相等可得∠HDE=45°，然后運用勾股定理可依次求出CE，CO，然后運用圓弧長公式就可解決問題．

解答 解：過點E作EH⊥CD于H，連接OC、OE、AE，如圖所示．
∵AC=CD，DE=EB，
∴$\widehat{AC}=\widehat{CD}$，$\widehat{DE}=\widehat{BE}$，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOB=90°，
∴∠CAE=45°．
∵∠CDE+∠CAE=180°，∠CDE+∠HDE=180°，
∴∠HDE=∠CAE=45°．
在Rt△DHE中，HE=DE•sin∠HDE=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，
DH=DE•cos∠HDE=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$．
在Rt△CHE中，CE=$\sqrt{C{H}^{2}+H{E}^{2}}$=$\sqrt{（6\sqrt{2}+\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=10．
在Rt△COE中，CO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE=5$\sqrt{2}$，
∴弧CDE的長度為$\frac{90π•5\sqrt{2}}{180}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}π$．
故答案為$\frac{5\sqrt{2}}{2}π$．

點評 本題主要考查了等弧與等弦及等圓心角之間的關系、圓周角定理、圓內接四邊形的對角互補、特殊角的三角函數(shù)值、勾股定理、圓弧長公式等知識，通過解三角形CDE求出CE，進而求出半徑，是解決本題的關鍵．