Question

【題目】拋物線y=ax2+bx的頂點(diǎn)M（，3）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，點(diǎn)A為拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為A′；已知C為A′B的中點(diǎn)，P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，作CD⊥x軸，PE⊥x軸，垂足分別為D，E．

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及拋物線的解析式；

（2）當(dāng)0＜x＜2時(shí)，是否存在點(diǎn)P使以點(diǎn)C，D，P，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x（2）存在點(diǎn)P（+，）或（﹣，）使得四邊形CDPE是平行四邊形

【解析】

（1）由拋物線的對(duì)稱性質(zhì)求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后分別將點(diǎn)A、O的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，列出關(guān)于a，b的方程組，通過(guò)解方程組求得它們的值即可；

（2）假設(shè)存在點(diǎn)P使得以點(diǎn)C，D，P，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則PE∥CD且PE=CD．根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱性質(zhì)可得BF=3，結(jié)合三角形中位線定理求得PE=．根據(jù)x的取值范圍確定點(diǎn)P應(yīng)該在x軸的上方．可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，），利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征進(jìn)行解答．

（1）依題意得：拋物線y=ax2+bx經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)M（，3）和（0，0），∴點(diǎn)A與原點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸x=對(duì)稱，∴A（2，0），∴，解得：，∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+2x；

（2）假設(shè)存在點(diǎn)P使得以點(diǎn)C，D，P，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則PE∥CD且PE=CD．

由頂點(diǎn)M（，3）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B（，﹣3），可得：BF=3．

連接MB交x軸于F．

∵CD⊥x軸，BM⊥x軸，∴CD∥BF．

∵C為A′B的中點(diǎn)，∴CD是△A′BF的中位線，得PE=CD=BF=．

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，0），∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，點(diǎn)P應(yīng)該在x軸的上方．

可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，），∴y=﹣x2+2x=，解得：x=±，滿足0＜x＜2．

綜上所述：存在點(diǎn)P（+）或（﹣）使得四邊形CDPE是平行四邊形．