Question

【題目】某商店銷售10臺(tái)A型和20臺(tái)B型電腦的利潤(rùn)為4000元，銷售20臺(tái)A型和10臺(tái)B型電腦的利潤(rùn)為3500元．
（1）求每臺(tái)A型電腦和B型電腦的銷售利潤(rùn)；
（2）該商店計(jì)劃一次購(gòu)進(jìn)兩種型號(hào)的電腦共100臺(tái)，其中B型電腦的進(jìn)貨量不超過(guò)A型電腦的2倍，設(shè)購(gòu)進(jìn)A型電腦x臺(tái)，這100臺(tái)電腦的銷售總利潤(rùn)為y元． ①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
②該商店購(gòu)進(jìn)A型、B型電腦各多少臺(tái)，才能使銷售總利潤(rùn)最大？
（3）實(shí)際進(jìn)貨時(shí)，廠家對(duì)A型電腦出廠價(jià)下調(diào)m（0＜m＜100）元，且限定商店最多購(gòu)進(jìn)A型電腦70臺(tái)，若商店保持同種電腦的售價(jià)不變，請(qǐng)你根據(jù)以上信息及（2）中條件，設(shè)計(jì)出使這100臺(tái)電腦銷售總利潤(rùn)最大的進(jìn)貨方案．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)每臺(tái)A型電腦銷售利潤(rùn)為a元，每臺(tái)B型電腦的銷售利潤(rùn)為b元；根據(jù)題意得

解得

答：每臺(tái)A型電腦銷售利潤(rùn)為100元，每臺(tái)B型電腦的銷售利潤(rùn)為150元．

（2）解：①據(jù)題意得，y=100x+150（100﹣x），即y=﹣50x+15000，

②據(jù)題意得，100﹣x≤2x，解得x≥33 ，

∵y=﹣50x+15000，﹣50＜0，

∴y隨x的增大而減小，

∵x為正整數(shù)，

∴當(dāng)x=34時(shí)，y取最大值，則100﹣x=66，

即商店購(gòu)進(jìn)34臺(tái)A型電腦和66臺(tái)B型電腦的銷售利潤(rùn)最大．

（3）據(jù)題意得，y=（100+m）x+150（100﹣x），即y=（m﹣50）x+15000，

33 ≤x≤70

①當(dāng)0＜m＜50時(shí)，y隨x的增大而減小，

∴當(dāng)x=34時(shí)，y取最大值，

即商店購(gòu)進(jìn)34臺(tái)A型電腦和66臺(tái)B型電腦的銷售利潤(rùn)最大．

②m=50時(shí)，m﹣50=0，y=15000，

即商店購(gòu)進(jìn)A型電腦數(shù)量滿足33 ≤x≤70的整數(shù)時(shí)，均獲得最大利潤(rùn)；

③當(dāng)50＜m＜100時(shí)，m﹣50＞0，y隨x的增大而增大，

∴當(dāng)x=70時(shí)，y取得最大值．

即商店購(gòu)進(jìn)70臺(tái)A型電腦和30臺(tái)B型電腦的銷售利潤(rùn)最大．

【解析】（1）設(shè)每臺(tái)A型電腦銷售利潤(rùn)為a元，每臺(tái)B型電腦的銷售利潤(rùn)為b元；根據(jù)題意列出方程組求解，（2）①據(jù)題意得，y=﹣50x+15000， ②利用不等式求出x的范圍，又因?yàn)閥=﹣50x+15000是減函數(shù)，所以x取34，y取最大值，（3）據(jù)題意得，y=（100+m）x﹣150（100﹣x），即y=（m﹣50）x+15000，分三種情況討論，①當(dāng)0＜m＜50時(shí)，y隨x的增大而減小，②m=50時(shí)，m﹣50=0，y=15000，③當(dāng)50＜m＜100時(shí)，m﹣50＞0，y隨x的增大而增大，分別進(jìn)行求解．