Question

如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，AC，BD相交于O，∠ABC的平分線交CD的延長(zhǎng)線于F，⊙O′是△DEF的外接圓，G是⊙O上一點(diǎn)，且AG=CD．求證：BG∥OO′．

Answer 1

分析：先連接O′G，O′A，O′C，O′D，O′E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出O′D平分∠EDF，根據(jù)平角的性質(zhì)得出∠AEO′=∠CDO′，再根據(jù)SAS證出△O′DC≌△O′EA，得出O′A=O′C，∠O′AC=∠O′CA，從而得出O為AC的中點(diǎn)，即可證出O′O⊥AC，再根據(jù)SSS證出△AGO′≌△CDO′，得出∠GAO′=∠DCO′，∠GAC=∠DCA=∠BAC，AG=CD=AB，得出BG⊥AC，最后根據(jù)垂直于同一直線的兩直線平行，即可得出答案．

解答：證明：連接O′G，O′A，O′C，O′D，O′E，
∵BE平分∠ABC，且ABCD是平行四邊形，
∴∠ABE=∠EBC=∠AEB=∠FED=∠EFD，
∴AB=AE，ED=DF，
∴O′D平分∠EDF，
∵∠AEO′+∠O′ED=180°，∠O′DF+∠O′DC=180°，
又∵∠O′ED=∠O′DF，
∴∠AEO′=∠CDO′，
在△O′DC和△O′EA中，

O′E=O′D ∠AEO′=∠CDO′ AG=CD

，
∴△O′DC≌△O′EA（SAS），
∴O′A=O′C，
∴∠O′AC=∠O′CA，
∵ABCD為平行四邊形，
∴O為AC的中點(diǎn)，
∴O′O⊥AC，
又∵AG=CD，
在△AGO′和△CDO′中，

O′E=O′D O′A=O′C GO′=O′D

，
∴△AGO′≌△CDO′（SSS），
∴∠GAO′=∠DCO′，
∴∠GAC=∠DCA=∠BAC，AG=CD=AB，
∴BG⊥AC，
∴BG∥OO′．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是角平分線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，再根據(jù)垂直于同一直線的兩直線平行進(jìn)行解答．