Question

4．如圖，邊長為1的正方形ABCD中，P為對(duì)角線AC上的任意一點(diǎn)，分別連接PB、PD，
PE⊥PB，交CD與E．
（1）求證：PE=PD；
（2）當(dāng)E為CD的中點(diǎn)時(shí)，求AP的長；
（3）設(shè)AP=x（0＜x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$），四邊形BPEC的面積為y，求證：y=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$-x）²．

Answer 1

分析 （1）作PG⊥BC于G，PH⊥CD于H，根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得到PB=PD，PG=PH，證明△BPG≌△EPH，得到PB=PE，等量代換得到答案；
（2）證明∠DPH=∠EPH，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出DH，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；
（3）根據(jù)四邊形BPEC的面積=正方形PGCH的面積計(jì)算．

解答 （1）證明：作PG⊥BC于G，PH⊥CD于H，
∵四邊形ABCD是正方形，正方形是軸對(duì)稱圖形，
∴PB=PD，PG=PH，∠BCD=90°，
∴四邊形PGCH是矩形，
∴PG⊥PH，又PE⊥PB，
∴∠BPG=∠EPH，
在△BPG和△EPH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BPG=∠EPH}\\{PG=PH}\\{∠PGB=∠PHE}\end{array}\right.$，
∴△BPG≌△EPH，
∴PB=PE，又PB=PD，
∴PE=PD；
（2）解：∵四邊形ABCD是軸對(duì)稱圖形，
∴∠BPC=∠DPC，∠GPC=∠HPC=45°，
∴∠BPG=∠DPH，又∠BPG=∠EPH，
∴∠DPH=∠EPH，又PH⊥CD，
∴DH=EH=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{4}$CD=$\frac{1}{4}$，
∴PH=HC=$\frac{3}{4}$，
∴PC=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∵正方形ABCD的邊長為1，
∴AC=$\sqrt{2}$，
∴AP=AC-PC=$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
（3）證明：∵AC=$\sqrt{2}$，AP=x，
∴PC=$\sqrt{2}$-x，
∵△BPG≌△EPH，
∴四邊形BPEC的面積y=正方形PGCH的面積=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$-x）²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握正方形的四條邊相等、四個(gè)角都是90°、一條對(duì)角線平分一組對(duì)角是解題的關(guān)鍵．