【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點(diǎn),作CD⊥AB,垂足為D,E為弧BC的中點(diǎn),連接AE、BE,AE交CD于點(diǎn)F.
(1)求證:∠AEC=90°﹣2∠BAE;
(2)過點(diǎn)E作⊙O的切線,交DC的延長線于G,求證:EG=FG;
(3)在(2)的條件下,若BE=4,CF=6,求⊙O的半徑.
【答案】(1)(2)證明見解析;(3)⊙O的半徑為10.
【解析】
連接AC、BC,先根據(jù)等弧得:∠CAE=∠BAE,則∠CAB=2∠BAE,再由直徑所對(duì)的圓周角為直角得:∠ACB=90°,直角三角形的兩銳角互余得:
∠CAB+∠CBA=90°,等量代換可得結(jié)論;
(2)如圖2,連接EO,設(shè)證明則
(3)如圖3,作輔助線,構(gòu)建直角三角形,證明則,由(2)得,則CM∥EG,設(shè)則 根據(jù)三角函數(shù)得: 列式求得x的值,在△OBM中,設(shè)則根據(jù)勾股定理列方程可得結(jié)論.
證明:(1)如圖1,連接AC、BC,
∴∠CEA=∠CBA,
∵E為的中點(diǎn),
∴=,
∴∠CAE=∠BAE,
∴
∵AB是直徑,
∴∠ACB=90°,
∴∠CAB+∠CBA=90°,
∴2∠BAE+∠AEC=90°,
∴∠AEC=90°﹣2∠BAE;
(2)如圖2,連接EO,
∵OA=OE,
∴∠OEA=∠OAE,
設(shè)∠OEA=∠OAE=α,
∵EG為切線,
∴OE⊥EG,
∴∠OEG=90°,
∴
∵DG⊥AB,
∴∠FDA=90°,
∴∠FAD+∠AFD=90°,
∴
∴
∴GE=GF;
(3)如圖3,連接CE、CB、OE、OC,CB與AE交于點(diǎn)N,CB與OE交于點(diǎn)M,
∵E為的中點(diǎn),
∴∠COM=∠BOM,
∵OC=OB,
∴OM⊥BC,
∴∠OMB=90°,
由(2)得∠GEM=90°,
∴CM∥EG,
∴∠GEF=∠CNF,
∵∠GFE=∠GEF,
∴∠CFE=∠CNF,
∴
設(shè)則
∴
解得:(舍),
由勾股定理得:
在△OBM中,設(shè) 則
即
∴
∴
則⊙O的半徑為10.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,小島在港口P的北偏西60°方向,距港口56海里的A處,貨船從港口P出發(fā),沿北偏東45°方向勻速駛離港口P,4小時(shí)后貨船在小島的正東方向,求貨船的航行速度.(結(jié)果保留根號(hào))
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,∠DAB與∠ADC的平分線相交于BC邊上的M點(diǎn),則下列結(jié)論:①∠AMD=90°;②M為BC的中點(diǎn);③AB+CD=AD;④ ;⑤M到AD的距離等于BC的一半;其中正確的有( )
A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè)
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【題目】如圖,C是AB的垂直平分線EF上一點(diǎn),連接CA,CB.以BC為直角邊作Rt△BCD,且CB=CD,AD交EF于點(diǎn)H,BH交DC于點(diǎn)M.
(1)求證:∠HAC=∠HBC=∠HDC;
(2)判斷△DHB的形狀,并證明你的結(jié)論;
(3)若DH=1,AH=7,則BC= .
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【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,AB⊥x軸于B,AC⊥y軸于C,點(diǎn)C(0,4),A(4,4),過C點(diǎn)作∠ECF分別交線段AB、OB于E、F兩點(diǎn).
(1)若OF+BE=AB,求證:CF=CE.
(2)如圖2,∠ECF=45°, S△ECF=6,求S△BEF的值.
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【題目】如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,點(diǎn)A(2,0),B(6,2),C(6,6),
反比例函數(shù)y1=(x>0)的圖象過點(diǎn)D,點(diǎn)P是一次函數(shù)y2=kx+3﹣3k(k≠0)的圖象與該反比例函數(shù)圖象的一個(gè)公共點(diǎn).
(1)若一次函數(shù)y2=kx+3﹣3k的圖象必經(jīng)過點(diǎn)E,則E點(diǎn)坐標(biāo)為______;
(2)對(duì)于一次函數(shù)y2=kx+3﹣3k(k≠0),當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí),點(diǎn)P橫坐標(biāo)a的取值范圍是______.
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【題目】如圖,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,下列結(jié)論不正確的結(jié)論是( )
A.CD=DN;B.∠1=∠2;C.BE=CF;D.△ACN≌△ABM.
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【題目】大家知道是無理數(shù),而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù),因此的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來,于是小明用來表示的小數(shù)部分,你同意小明的表示方法嗎?事實(shí)上,小明的表示方法是有道理,因?yàn)?/span>的整數(shù)部分是1,將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分,差就是小數(shù)部分.又例如:
∵,即,∴的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為.
請解答:(1)如果的小數(shù)部分為a,的整數(shù)部分為b,求的值;
(2)已知:,其中x是整數(shù),且0<y<1.
求:①x、y的值;②x﹣y的相反數(shù).
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【題目】規(guī)定:如果一個(gè)三角形的三個(gè)角分別等于另一個(gè)三角形的三個(gè)角,那么稱這兩個(gè)三角形互為“等角三角形”.從三角形(不是等腰三角形)一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交,頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形,如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形,另一個(gè)與原來三角形是“等角三角形”,我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“等角分割線”.
(1)如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,請寫出圖中兩對(duì)“等角三角形”.
(2)如圖2,在△ABC中,CD為角平分線,∠A=40°,∠B=60°。求證:CD為△ABC的等角分割線.
(3)在△ABC中,∠A=42°,CD是△ABC的等角分割線,若△ACD是等腰三角形,請直接寫出∠ACB的度數(shù).
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