Question

如圖，正方形OCAB的頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸上，正方形的邊長(zhǎng)為4，拋物線y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)．下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)有（　�。﹤�(gè)
①abc＞0；②4a+b=0；③a＞-

4

5

；④方程ax²+bx+c=4的解為x₁=0，x₂=4；⑤（4a+2b）-（am²+bm）＜0（m≠2）．

• A、2個(gè)
• B、3個(gè)
• C、4個(gè)
• D、5個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

專題：

分析：由拋物線開(kāi)口向下得a＜0，由拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-

b

2a

=2得b=-4a＞0，由拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方得c＞0，所以abc＜0；由b=-4a所以4a+b=0；由圖象可知x₁＜-1，x₂＞5，得到x₁•x₂=

c

a

＜-5，由于c=4，所以a＞-

4

5

；由于c=4，方程ax²+bx+c=4變?yōu)閍x²+bx=0，所以方程的解為x₁=0，x₂=-

b

a

，由b=-4a，可得x₁=0，x₂=4，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，所以當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值，所以am²+bm+c＜4a+2b+c（m≠2），整理得（4a+2b）-（am²+bm）＞0（m≠2）．

解答：解：∵拋物線開(kāi)口向下，
∴a＜0，
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-

b

2a

=2＞0，
∴b=-4a，
∴b＞0，
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①錯(cuò)誤；
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-

b

2a

=2，
∴b=-4a，
∴4a+b=0，所以②正確；
∵由圖象可知x₁＜-1，x₂＞5，
∴x₁•x₂=

c

a

＜-5，
∵c=4，
∴

4

a

＜-5，
∵a＜0，
∴a＞-

4

5

所以③正確；
∵c=4，
∴方程ax²+bx+c=4變?yōu)閍x²+bx=0，
∴x₁=0，x₂=-

b

a

=-

-4a

a

=4，所以④正確；
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，
∴當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值，
∴am²+bm+c＜4a+2b+c（m≠2），
∴am²+bm＜4a+2b（m≠2），
∴（4a+2b）-（am²+bm）＞0（m≠2）所以⑤錯(cuò)誤；
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，當(dāng)a＞0，拋物線開(kāi)口向上；對(duì)稱軸為直線x=-

b

2a

；拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）；當(dāng)b²-4ac＞0，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b²-4ac=0，拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b²-4ac＜0，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．