Question

動手操作：如圖1，把矩形AA′B′B卷成以AB為高的圓柱形，則點(diǎn)A與點(diǎn)

 

重合，點(diǎn)B與點(diǎn)

 

重合．
探究與發(fā)現(xiàn)：
（1）如圖2，若圓柱的底面周長是30cm，高是40cm，從圓柱底部A處沿側(cè)面纏繞一圈絲帶到頂部B處作裝飾，則這條絲線的最小長度是

 

cm；（絲線的粗細(xì)忽略不計）
（2）如圖3，若用絲線從該圓柱的底部A纏繞4圈直到頂部B處，則至少需要多少絲線？
實(shí)踐與應(yīng)用：
如圖4，現(xiàn)有一個圓柱形的玻璃杯，準(zhǔn)備在杯子的外面纏繞一層裝飾帶，為使帶子全部包住杯子且不重疊，需要將帶子的兩端沿AE，CF方向進(jìn)行裁剪，如圖5所示，若帶子的寬度為1.5厘米，杯子的半徑為6厘米，則sinα=

 

．

Answer 1

分析：（1）連接AB′，已知AA′=30，A′B′=40，由勾股定理可求AB′的長；
（2）①在Rt△AA′C中，由勾股定理求AC，絲線至少為4×AC，②將剪開線MN與矩形短邊的夾角α轉(zhuǎn)化到直角三角形中，根據(jù)正弦的定義求值．

解答：解：A′，B′；
探究與發(fā)現(xiàn)：
（1）如圖，連接AB′，已知AA′=30，A′B′=40，由勾股定理，
得AB′=

AA′2+A′B′2

=50；

（2）如圖，在Rt△AA′C中，AA′=30，A′C=

40

4

=10，
∴AC=

AA′2+A′C2

=

302+102

=10

10

，
∴絲線至少為4×AC=40

10

cm；


實(shí)踐與應(yīng)用：如圖，沿MN把矩形剪開，矩形對角線AA′為杯子周長12π，帶子的寬度A′M=1.5厘米，
由互余關(guān)系可知∠A′MN=∠MAA′=α，
∴在Rt△AA′M中，sinα=

A′M

AA′

=

1.5

12π

=

1

8π

．

點(diǎn)評：本題考查了平面展開圖形的運(yùn)用．關(guān)鍵是明確立體圖形與其平面展開圖形之間的數(shù)量關(guān)系，充分運(yùn)用勾股定理及三角函數(shù)的定義解題．