Question

已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點E、F在邊BC上，DE∥AB，AF∥CD，且四邊形AEFD是平行四邊形．
（1）試判斷線段AD與BC的長度之間有怎樣的數(shù)量關系？并證明你的結論；
（2）現(xiàn)有三個論斷：①AD=AB；②∠B+∠C=90°；③∠B=2∠C．請從上述三個論斷中選擇一個論斷作為條件，證明四邊形AEFD是菱形．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題中所給平行線，不難得出四邊形ABED和四邊形AFCD都是平行四邊形，而四邊形AEFD也是平行四邊形，三個平行四邊形都共有一條邊AD，所以可得出BC=3AD的結論．
（2）可選擇②作為證明條件，先證明DE=EF，然后結合四邊形AEFD是平行四邊形得出結論．
解答：解：（1）線段AD與BC的長度之間的數(shù)量為：BC=3AD．
證明：∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
∴AD=BE，
同理可證：四邊形AFCD是平行四邊形，即得：AD=FC，
又∵四邊形AEFD是平行四邊形，
∴AD=EF，
∴AD=BE=EF=FC，
∴BC=3AD．
（2）解：選擇論斷②作為條件．
證明：∵DE∥AB，
∴∠B=∠DEC，
∵∠B+∠C=90°，
∴∠DEC+∠C=90°，
即得∠EDC=90°，
又∵EF=FC，
∴DF=EF，
∵四邊形AEFD是平行四邊形，
∴四邊形AEFD是菱形．
點評：本題考查了梯形、平行四邊形的性質和矩形的判定，是一道集眾多四邊形于一體的小綜合題，建議同學們平時學習中，重視一題多變，適當?shù)刈兪铰?lián)系，可以觸類旁通．