Question

已知，四邊形ABCD是正方形，點P在直線BC上，點G在直線AD上（P、G不與正方形頂點重合，且在CD的同側(cè)），PD=PG，DF⊥PG于點H，交直線AB于點F，將線段PG繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，連結(jié)EF.

(1)如圖1，當(dāng)點P與點G分別在線段BC與線段AD上時.

①求證：DG=2PC；

②求證：四邊形PEFD是菱形；

(2)如圖2，當(dāng)點P與點G分別在線段BC與線段AD的延長線上時，請猜想四邊形PEFD是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想.

 

Answer 1

（1）

①證明：如圖1

作PM⊥AD于點M

∵PD=PG，

∴MG=MD，

又∵MD=PC

∴DG=2PC                    

②證明：∵PG⊥FD于H

∴∠DGH+∠ADF= 90°                                      第25題 圖1

又∵∠ADF+∠AFD= 90°

∴∠DGP=∠AFD              

∵四邊形ABCD是正方形，PM⊥AD于點M，

∴∠A=∠PMD= 90°，PM=AD，

∴△PMG≌△DAF               

∴DF=PG

∵PG=PE

∴FD=PE，      

∵DF⊥PG，PE⊥PG

∴DF∥PE 

∴四邊形PEFD是平行四邊形.   

又∵PE=PD

∴□PEFD是菱形                

（2）四邊形PEFD是菱形     

證明：如圖②

∵四邊形ABCD是正方形，DH⊥PG于H           

∴∠ADC=∠DHG=90°       

∴∠CDG=∠DHG=90°

∴∠CDP+∠PDG=90°，∠GDH+∠G=90°

∵PD=PG            

∴∠PDG=∠G

∴∠CDP=∠GDH                  

∴∠CDP=∠ADF                

又∵AD=DC，∠FAD=∠PCD=90°  

∴△PCD≌△FAD                 

       ∴FD=PD

       ∵ PD=PG=PE                     

∴FD=PE

又∵FD⊥PG，PE⊥PG                   

       ∴FD∥PE                            

∴四邊形PEFD是平行四邊形.     

又∵FD=PD        

       ∴□PEFD是菱形