Question

學校計劃用地面磚鋪設教學樓前矩形廣場的地面ABCD，已知矩形廣場地面的長為100米，寬為80米．圖案設計如圖所示：廣場的四角為小正方形，陰影部分為四個矩形，四個矩形的寬都為小正方形的邊長，陰影部分鋪綠色地面磚，其余部分鋪白色地面磚．
（1）要使鋪白色地面磚的面積為5200平方米，那么矩形廣場四角的小正方形的邊長為多少米？
（2）如果鋪白色地面磚的費用為每平方米30元．鋪綠色地面磚的費用為每平方米20元，當廣場四角小正方形的邊長為多少米時，鋪廣場地面的總費用最少？最少費用是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）設矩形廣場四角的小正方形的邊長為x米，根據等量關系“白色地板磚的面積=4個小正方形的面積+中間矩形的面積”列出一元二次方程求解即可；
（2）設鋪矩形廣場地面的總費用為y元，廣場四角的小正方形的邊長為x米，根據等量關系“總費用=鋪白色地面磚的費用+鋪綠色地面磚的費用”列出y關于x的函數，求得最小值．
解答：解：（1）設矩形廣場四角的小正方形的邊長為x米，根據題意，得：
4x²+（100-2x）（80-2x）=5200
整理，得：x²-45x+350=0（3分）
解之，得：x₁=35，x₂=10，
∴要使鋪白色地面磚的面積為5200平方米，則矩形廣場四角的小正方形的邊長為10米或35米．

（2）設鋪矩形廣場地面的總費用為y元，廣場四角的小正方形的邊長為x米，則，
y=30×[4x²+（100-2x）（80-2x）]+20×[2x（100-2x）+2x（80-2x）]
即：y=80x²-3600x+240000
配方得，y=80（x-22.5）²+199500
當x=22.5時，y的值最小，最小值為199500．
∴當矩形廣場四角的小正方形的邊長為22.5米時，所鋪廣場地面的總費用最少，最少費用為199500元．
點評：本題第（1）問考查了通過二次方程解決實際問題的能力；第（2）問考查了根據函數解析式求函數最值的能力．