Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E，F分別在AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，則CF的長為_____．

Answer 1

【答案】 ．

【解析】

首先延長FD到G，使DG＝BE，利用正方形的性質(zhì)得∠B＝∠CDF＝∠CDG＝90°，CB＝CD；利用SAS定理得△BCE≌△DCG，利用全等三角形的性質(zhì)易得△GCF≌△ECF，利用勾股定理可得AE＝1，設AF＝x，利用GF＝EF，解得x，利用勾股定理可得CF．

如圖，延長FD到G，使DG＝BE；連接CG、EF；

∵四邊形ABCD為正方形，

在△BCE與△DCG中，

，

∴△BCE≌△DCG（SAS），

∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，

∴∠GCF＝45°，

在△GCF與△ECF中，

，

∴△GCF≌△ECF（SAS），

∴GF＝EF，

∵CE＝5，CB＝4，

∴BE＝3，

∴AE＝1，

設AF＝x，則DF＝4x，GF＝3＋（4x）＝7x，

∴EF＝＝，

∴（7x）2＝1＋x2，

∴x＝，

即AF＝，

∴DF＝4＝，

∴CF＝=

故答案為：．