Question

5．如圖1，已知正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE，GC，易證△DAE≌△DCG，可得結(jié)論：①AE=CG；②AE⊥CG．如圖2，將正方形DEFG繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點E落在BC邊上，連接AE和CG，你認為圖1中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 延長AE和GC相交于點H，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=DC，DE=DG，∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDG=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠1=∠2，然后利用“邊角邊”證明△ADE和△CDG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠5=∠4，再根據(jù)平角等于180°求出∠6=∠7，然后求出∠EHC=90°，再根據(jù)垂直的定義證明即可．

解答 證明：延長AE和GC相交于點H，
∵在正方形ABCD與正方形DEFG中，AD=DC，DE=DG，
∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDG=90°，
∴∠1=∠2=90°-∠3，
在△ADE與△CDG中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠1=∠2}\\{DE=DG}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDG，
∴∠5=∠4，AE=CG，
又∵∠5+∠6=90°，
∴∠4+∠7=180°-∠DCE=180°-90°=90°，∠6=∠7，
又∵∠6+∠AEB=90°，∠AEB=∠CEH，
∴∠CEH+∠7=90°，
∴∠EHC=90°，
∴AE⊥GC；

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直的定義，熟記性質(zhì)并確定出全等的三角形是解題的關(guān)鍵，利用阿拉伯?dāng)?shù)字表示角更形象直觀．