Question

如圖，在正方形ABCD中，E是CD的中點，F(xiàn)是BC上一點，且BF=3CF．給出下列結(jié)論：①∠DAE=30°；②△ADE∽△AEF；③AE⊥EF；④△ABF∽△ECF．其中正確的個數(shù)為

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

B
分析：根據(jù)已知首先證△FEC∽△EAD，通過觀察發(fā)現(xiàn)兩個三角形已經(jīng)具備一組對應(yīng)角相等，再利用兩邊對應(yīng)成比例即可得出三角形相似，進而求出即可，再分別利用相似三角形的判定與解直角三角形的知識求出即可．
解答：∵正方形ABCD，E為CD中點，
∴CE=ED=DC=AD，
∴tan∠DAE==，
∴∠DAE≠30°，故①∠DAE=30°錯誤；
∵正方形ABCD，E為CD中點，
∴CE=ED=DC．
∵BF=3FC，
∴FC= ED，CE=AD．
∴==，
∵∠C=∠D=90°，
∴△FEC∽△EAD．
∴∠FEC=∠DAE，
∵∠DAE+∠DEA=90°
∴∠DEA+∠FEC=90°，
∴AE⊥EF．故③AE⊥EF正確；
假設(shè)正方形邊長為4a，
∴FC=a，EC=2a，
∴EF=a，
∵DE=2a，AD=4a，
∴AE=2a，
∴==，
∵∠AEF=∠D=90°，
∴△ADE∽△AEF，
故②△ADE∽△AEF正確；
∵=，
=，
∴≠，
∴△ABF與△ECF不相似，
故④△ABF∽△ECF錯誤．
故正確的有2個．
故選：B．
點評：此題考查了相似三角形的判定．識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角，可利用數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)圖形提供的數(shù)據(jù)計算對應(yīng)角的度數(shù)、對應(yīng)邊的比．本題中把若干線段的長度用同一線段來表示是求線段是否成比例是常用的方法．