Question

如圖，已知Rt△ABC≌Rt△DEC，∠ECD=∠BCA=90°，∠E=30°，D為AB的中點(diǎn)，BC=

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，若△DEC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DE′C′，若DE′，DC′分別與Rt△ABC的直角邊BC相交于M，N，則當(dāng)△DMN為等邊三角形時(shí)，BN的長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)全等的性質(zhì)得到∠B=30°，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到DC=DA=DB，由于BC=

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，利用含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到AC=

3

3

BC=1，則AB=2AC=2，于是BD=1，
由△DMN為等邊三角形得∠DNM=60°，利用三角形外角性質(zhì)可計(jì)算得到∠NDB=∠DNB-∠B=60°-30°=30°，則ND=NB；過N作NH⊥BD于H，則BH=

1

2

BD=

1

2

，而∠B=30°，利用含30°的直角三角形三邊的關(guān)系可先得到NH，再得到BN．

解答：解：∵Rt△ABC≌Rt△DEC，∠ECD=∠BCA=90°，∠E=30°，D為AB的中點(diǎn)，
∴∠B=30°，DC=DA=DB，
而BC=

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，
∴AC=

3

3

BC=1，
∴AB=2AC=2，
∴BD=1，
∵△DEC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DE′C′，DE′，DC′分別與Rt△ABC的直角邊BC相交于M，N，則當(dāng)△DMN為等邊三角形，
∴∠DNM=60°，
∴∠NDB=∠DNB-∠B=60°-30°=30°，
∴ND=NB，
過N作NH⊥BD于H，如圖，
在Rt△BNH中，BH=

1

2

BD=

1

2

，∠B=30°，
∴NH=

3

3

BH=

3

6

，
∴BN=2NH=

3

3

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故答案為

3

3

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點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)、含30°的直角三角形三邊的關(guān)系以及直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．