Question

某工廠現有甲種原料380千克，乙種原料290千克，計劃用這兩種原料生產A、B兩種產品共50件．已知生產一件A產品需要甲種原料9千克，乙種原料3千克，可獲利700元；生產一件B產品需要甲種原料4千克，乙種原料10千克，可獲利1200元．設生產A、B兩種產品總利潤為y元，其中A種產品生產件數是x．
（1）寫出y與x之間的函數關系式；
（2）如何安排A、B兩種產品的生產件數，使總利潤y有最大值，并求出y的最大值．

Answer 1

考點：一次函數的應用

專題：應用題

分析：（1）根據等量關系：利潤=A種產品的利潤+B種產品的利潤，可得出函數關系式；
（2）這是一道只有一個函數關系式的求最值問題，可根據等量關系：總利潤=A種產品的利潤+B種產品的利潤，可得出函數關系式，然后根據函數的性質確定自變量的取值范圍，由函數y隨x的變化求出最大利潤．

解答：解：（1）由題意：y=700x+1200（50-x），
即y=-500x+60000；

（2）由題意得

9x+4(50-x)≤380 3x+10(50-x)≤290

，
解得30≤x≤36，
∵y=-500x+60000，
∴y隨x的增大而減小，
∴當x=30時，y_最大=45000，
故生產B種產品20件，A種產品30件時，總利潤y有最大值，y_最大=45000元．

點評：本題考查的是用一次函數解決實際問題，此類題是近年中考中的熱點問題．注意利用一次函數求最值時，關鍵是應用一次函數的性質；即由函數y隨x的變化，結合自變量的取值范圍確定最值．