Question

19．已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，BE=CF．
（1）求證：DE=DF；
（2）求證：△BDE≌△CDF；
（3）求證：AD是BC的中垂線．

Answer 1

分析 （1）依據(jù)AAS證明△AED≌△AFD，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到DE=DF；
（2）由（1）得到DE=DF，然后依據(jù)SAS證明△BDE≌△CDF即可；
（3）先證明AB=AC，然后依據(jù)SAS證明△ABD≌△ACD，由全等三角形的性質(zhì)可得到∠BDA=∠CDA=90°，BD=DC，故此可證明AD是BC的中垂線．

解答 證明：（1）∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠EAD=∠FAD．
∵DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，
∴∠AED=∠AFD=90°．
在△AED和△AFD中$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠FAD}\\{∠AED=∠AFD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△AFD．
∴DE=DF．
（2）∵DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，
∴∠BED=∠CFD=90°．
在△BDE和△CDF中$\left\{\begin{array}{l}{BE=CF}\\{∠BED=∠CFD=90°}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CDF．
（3）∵△AED≌△AFD，
∴AE=AF．
又∵BE=FC，
∴AB=AC．
在△ABD和△ACD中$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD．
∴∠BDA=∠CDA=90°，BD=DC．
∴AD是BC的中垂線．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．