Question

1．已知如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A、B、C分別為坐標軸上的三個點，且OA=1，OB=3，OC=4，
（1）求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（2）在平面直角坐標系xOy中是否存在一點P，使得以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若點M為該拋物線上一動點，在（2）的條件下，請求出當(dāng)|PM-AM|的最大值時點M的坐標，并直接寫出|PM-AM|的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，把A，B，C三點坐標代入求出a，b，c的值，即可確定出所求拋物線解析式；
（2）在平面直角坐標系xOy中存在一點P，使得以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形，理由為：根據(jù)OA，OB，OC的長，利用勾股定理求出BC與AC的長相等，只有當(dāng)BP與AC平行且相等時，四邊形ACBP為菱形，可得出BP的長，由OB的長確定出P的縱坐標，確定出P坐標，當(dāng)點P在第二、三象限時，以點A、B、C、P為頂點的四邊形只能是平行四邊形，不是菱形；
（3）利用待定系數(shù)法確定出直線PA解析式，當(dāng)點M與點P、A不在同一直線上時，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系|PM-AM|＜PA，當(dāng)點M與點P、A在同一直線上時，|PM-AM|=PA，
當(dāng)點M與點P、A在同一直線上時，|PM-AM|的值最大，即點M為直線PA與拋物線的交點，聯(lián)立直線AP與拋物線解析式，求出當(dāng)|PM-AM|的最大值時M坐標，確定出|PM-AM|的最大值即可．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
∵A（1，0）、B（0，3）、C（-4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}a+b+c=0\\ c=3\\ 16a-4b+c=0\end{array}\right.$，
解得：a=-$\frac{3}{4}$，b=-$\frac{9}{4}$，c=3，
∴經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x+3；
（2）在平面直角坐標系xOy中存在一點P，使得以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形，理由為：
∵OB=3，OC=4，OA=1，
∴BC=AC=5，
當(dāng)BP平行且等于AC時，四邊形ACBP為菱形，
∴BP=AC=5，且點P到x軸的距離等于OB，
∴點P的坐標為（5，3），
當(dāng)點P在第二、三象限時，以點A、B、C、P為頂點的四邊形只能是平行四邊形，不是菱形，
則當(dāng)點P的坐標為（5，3）時，以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形；
（3）設(shè)直線PA的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵A（1，0），P（5，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}5k+b=3\\ k+b=0\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{3}{4}$，b=-$\frac{3}{4}$，
∴直線PA的解析式為y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{4}$，
當(dāng)點M與點P、A不在同一直線上時，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系|PM-AM|＜PA，
當(dāng)點M與點P、A在同一直線上時，|PM-AM|=PA，
∴當(dāng)點M與點P、A在同一直線上時，|PM-AM|的值最大，即點M為直線PA與拋物線的交點，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}\\ y=-\frac{3}{4}{x^2}-\frac{9}{4}x+3\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=1\\{y_1}=0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x_2}=-5\\{y_2}=-\frac{9}{2}\end{array}\right.$，
∴點M的坐標為（1，0）或（-5，-$\frac{9}{2}$）時，|PM-AM|的值最大，此時|PM-AM|的最大值為5．

點評 此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法確定拋物線解析式、一次函數(shù)解析式，菱形的判定，以及坐標與圖形性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．．