Question

如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．半徑為1的圓的圓心P以1個單位/S的速度由點A沿AC方向在AC上移動，設移動時間為t（單位：s）．
（1）當t為何值時，⊙P與AB相切；
（2）作PD⊥AC交AB于點D，如果⊙P和線段BC交于點E．求當t為何值時，四邊形PDBE為平行四邊形．

Answer 1

解：（1）∵過P作PH⊥AB于H，
又∵⊙P與AB相切，
∴PH=1，
∴∠AHP=∠C=90°，∠A=∠A，
∴△APH∽△ABC，…
∴，
∵△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB==5，
∴，
∴AP=，
∴當t=時，⊙P與AB相切；…

（2）∵PD⊥AC，∠C=90°，
∴PD∥BE，
∴當PE∥AB時，四邊形PDBE為平行四邊形．
∴△CPE∽△CAB，
∴，
∴，
∴CP=，
∴AP=AC-CP=，
∴當t=時，四邊形PDBE為平行四邊形．…

分析：（1）首先過P作PH⊥AB于H，由⊙P與AB相切，可得PH=1，易證得△APH∽△ABC，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，可得，繼而求得AP的長；即可得當t為何值時，⊙P與AB相切；
（2）由PD⊥AC，∠C=90°，可證得PD∥BC，繼而可得當PE∥AB時，四邊形PDBE為平行四邊形，則可得△CPE∽△CAB，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得CP的長，繼而求得答案．
點評：此題考查了切線的性質、平行四邊形的判定與性質以及相似三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想與方程思想的應用．