Question

3．已知，下列n（n為正整數(shù)）個(gè)關(guān)于x的一元二次方程：
①x²-1=0，②x²+x-2=0，③x²+2x-3=0，④x²+3x-4=0，…，⑪，…
（1）上述一元二次方程的解為①x₁=1，x₂=-1，②x₁=1，x₂=-2，③x₁=1，x₂=-3，④x₁=1，x₂=-4．
（2）猜想：第n個(gè)方程為x²+（n-1）x-n=0，其解為x₁=1，x₂=-n．
（3）請(qǐng)你指出這n個(gè)方程的根有什么共同的特點(diǎn)（寫出一條即可）．

Answer 1

分析 （1）用十字相乘法因式分解可以求出它們的根．
（2）由（1）找出規(guī)律，寫出方程，解方程求出方程的根．
（3）根據(jù)（1）、（2）可以寫出它們的共同特點(diǎn)．

解答 解：（1）①（x+1）（x-1）=0，
∴x₁=1，x₂=-1．
②（x+2）（x-1）=0，
∴x₁=1，x₂=-2．
③（x+3）（x-1）=0，
∴x₁=1，x₂=-3．
④（x+4）（x-1）=0，
∴x₁=1，x₂=-4．

（2）由（1）找出規(guī)律，可寫出第n個(gè)方程為：
x²+（n-1）x-n=0，
（x-1）（x+n）=0，
解得x₁=1，x_n=-n．

（3）這n個(gè)方程都有一個(gè)根是1； 另一個(gè)根是n的相反數(shù)； a+b+c=0； b²-4ac=（n+1）²；都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； 兩個(gè)根異號(hào)．
故答案是：（1）①x₁=1，x₂=-1．②x₁=1，x₂=-2．③x₁=1，x₂=-3．④x₁=1，x₂=-4．
（2）x²+（n-1）x-n=0；x₁=1，x₂=-n．
（3）這n個(gè)方程都有一個(gè)根是1； 另一個(gè)根是n的相反數(shù)； a+b+c=0； b²-4ac=（n+1）²；都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； 兩個(gè)根異號(hào)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是用因式分解法解方程，用十字相乘法因式分解求出方程的根，然后找出規(guī)律，寫出第n個(gè)方程，求出第n個(gè)方程的根，并寫出它們的共同特點(diǎn)．