Question

7．如圖，已知二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖形經過點（1，2），且與x軸交點的橫坐標分別為x₁，x₂，其中-1＜x₁＜0，1＜x₂＜2，下列結論：①abc＜0；②a＜b＜-2a；③b²+8a＜4ac；④-1＜a＜0．其中正確結論的序號是①②．

Answer 1

分析 由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，根據對稱軸在y軸的右側，a，b異號，b＞0，判斷①；根據對稱軸小于1，判斷②；根據頂點的縱坐標大于2判斷③，根據圖象經過（1，2）判斷④．

解答 解：∵拋物線的開口向下，∴a＜0，
∵拋物線與y軸的正半軸相交，∴c＞0，
∵對稱軸在y軸的右側，a，b異號，∴b＞0，
∴①abc＜0，正確；
∵-$\frac{2a}$＜1，
∴b＜-2a，
∴②a＜b＜-2a正確；
由于拋物線的頂點縱坐標大于2，即：$\frac{4ac-^{2}}{4a}$＞2，
由于a＜0，所以4ac-b²＜8a，即b²+8a＞4ac，故③錯誤，
由題意知，a+b+c=2，（1）
a-b+c＜0，（2）
4a+2b+c＜0，（3）
把（1）代入（3）得到：4a+b+2-a＜0，
則a＜$\frac{-b-2}{3}$．
由（1）代入（2）得到：b＞1．
則a＜-1．故④錯誤．
綜上所述，正確的結論是①②．
故答案為①②．

點評 本題考查了圖象與二次函數系數之間的關系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關系，以及二次函數與方程之間的轉換，根的判別式的熟練運用．