Question

（2013•延慶縣一模）在如圖所示的棱長為1的正方體中，A、B、C、D、E是正方體的頂點(diǎn)，M是棱CD的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿著D→A→B的路線在正方體的棱上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程是x，y=PM+PE，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：由題意，可知y關(guān)于x的函數(shù)是分段函數(shù)，分別求出0≤x≤1及1＜x≤2時(shí)y關(guān)于x的函數(shù)解析式，再求出端點(diǎn)處及每一段的最小值即可求解．

解答：解：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，
∵PM=

DM2+DP2

=

( 1 2 )2+x2

，PE=

PA2+AE2

=

(1-x)2+12

，
∴y=

x2+ 1 4

+

(1-x)2+1

，
當(dāng)x=0時(shí)，y=

1

2

+

2

；當(dāng)x=1時(shí)，y=

5

2

+1；
當(dāng)側(cè)面展開圖中M、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，y的值最小，最小值為

(1+ 1 2 )2+12

=

13

2

；
當(dāng)1＜x≤2時(shí)，
∵PM=

(x- 3 2 )2+1

，PE=

PA2+AE2

=

(x-1)2+1

，
∴y=

(x- 3 2 )2+1

+

(x-1)2+1

，
當(dāng)x=2時(shí)，y=

5

2

+

2

；
當(dāng)側(cè)面展開圖中M、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，y的值最小，最小值為

( 1 2 )2+22

=

17

2

；
∵函數(shù)圖象分為兩段，∴A錯(cuò)誤；
∵

13

2

＜

17

2

，即第一段的最小值＜第二段的最小值，
且

1

2

+

2

＜

5

2

+1＜

5

2

+

2

，即x為0時(shí)的函數(shù)值＜x為1時(shí)的函數(shù)值＜x為2時(shí)的函數(shù)值，
∴B、D錯(cuò)誤；
故選C．

點(diǎn)評：本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，注意分析y隨x的變化而變化的趨勢，比較四個(gè)選項(xiàng)之間的區(qū)別．分別計(jì)算出兩段函數(shù)的最小值是解題的關(guān)鍵．