Question

（2009•義烏）如圖，AB是⊙O的直徑，BC⊥AB于點B，連接OC交⊙O于點E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于點G．
（1）求證：點E是的中點；
（2）求證：CD是⊙O的切線；
（3）若sin∠BAD=，⊙O的半徑為5，求DF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據AD∥OC可得∠A=∠COB，從而判定=；
（2）連接OD，只要證明∠CDO=90°即可；
（3）在△ADG中用勾股定理求解．
解答：（1）證明：連接OD；
∵AD∥OC，
∴∠A=∠COB；（1分）
∵∠A=∠BOD，
∴∠BOC=∠BOD；
∴∠DOC=∠BOC；
∴，
則點E是的中點；（2分）

（2）證明：如圖所示：
由（1）知∠DOE=∠BOE，（1分）
∵CO=CO，OD=OB，
∴△COD≌△COB；（2分）
∴∠CDO=∠B；
又∵BC⊥AB，
∴∠CDO=∠B=90°；
∴CD是⊙O的切線；（3分）

（3）解：在△ADG中，∵sinA=，
設DG=4x，AD=5x；
∵DF⊥AB，
∴AG=3x；（1分）
又∵⊙O的半徑為5，
∴OG=5-3x；
∵OD²=DG²+OG²，
∴5²=（4x）²+（5-3x）²；（2分）
∴x₁=，x₂=0；（舍去）
∴DF=2DG=2×4x=8x=8×（3分）．
點評：本題考查了圓周角的性質，切線的判定和勾股定理的運用．