Question

如圖，將一矩形OABC放在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點．點A在y軸正半軸上．點E是邊AB上的一個動點（不與點A、B重合），過點E的反比例函數(shù)的圖象與邊BC交于點F．
（1）若△OAE、△OCF的而積分別為S₁、S₂．且S₁+S₂=2，求k的值．
（2）若OA=2，OC=4，當(dāng)四邊形AOFE的面積最大時，求點E、F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）點E、F反比例函數(shù)y=（k＞0）圖象上的點，S_△OAE=S_△OCF=，再由S₁+S₂=2即可求出k的值；
（2）四邊形OABC為矩形，OA=2，OC=4，可設(shè)E（，2），F(xiàn)（4，），再由S_{四邊形AOFE}=S_矩形OABC-S_△BEF-S_△OCF即可得出關(guān)于k的一元二次方程，由二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)可得出當(dāng)k=4時，四邊形AOFE的面積最大，故可得出E、F兩點的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵點E、F反比例函數(shù)y=（k＞0）圖象上的點，
∴S_△OAE=S_△OCF=，
∴S₁+S₂=+=2，解得，k=2；
（2）∵四邊形OABC為矩形，OA=2，OC=4，
∴設(shè)E（，2），F(xiàn)（4，），
∴BE=4-，BF=2-，
∴S_△BEF=（4-）（2-）=k²-k+4，
∵S_△OAE=S_△OCF=×4×=，S_矩形OABC=2×4=8，
∴S_{四邊形AOFE}=S_矩形OABC-S_△BEF-S_△OCF=8-（k²-k+4）-=-k²+k+4，
=-（k-4）²+5
∵a＜0，
∴開口向下，S四邊形AOFE有最大值
∴當(dāng)k=4時，四邊形AOFE的面積最大，
∴AE==2，CF==1．
∴E（2，2），F(xiàn)（4，1）．
點評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，根據(jù)題意用k表示出E、F兩點的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式求解是解答此題的關(guān)鍵．