Question

3．如圖1，△AO0和△COD都是等腰直角三角形，且∠A0B=∠COD=90°．△COD可繞點(diǎn)O任意旋轉(zhuǎn)．

（1）求證：BD=AC；
（2）如圖2，將△COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)B、D、C三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求∠ACB的度數(shù)；
（3）在旋轉(zhuǎn)的過程中，設(shè)直線BD與直線AC交于點(diǎn)E，∠AEB的度數(shù)是否會(huì)隨旋轉(zhuǎn)的變化而變化？若不變，求出△AEB的度數(shù)；若改變，求出∠AEB的變化范圍．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可以得出∠AOC=∠BOD，再利用邊角邊就可以得出△AOC≌△BOD，即可得出結(jié)論；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得出∠OAC=∠OBD，得出∠OAC+∠OAB+∠ABC=90°，由三角形內(nèi)角和定理即可求出∠ACB的度數(shù)；
（3）由全等三角形的性質(zhì)得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性質(zhì)得出∠AFE=∠OAB+∠ABE，求出∠OAC+∠AFE=∠OAB+∠OBA=90°，由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：
∵△ABO和△CDO都是等腰直角三角形，
∴CO=DO，AO=BO，∠COD=∠AOB=90°，∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠AOC+AOD=∠BOD+∠AOD=90°，
∴∠AOC=∠BOD．
在△AOC和△BOD中，$\left\{\begin{array}{l}{CO=DO}&{\;}\\{∠AOC=∠BOD}&{\;}\\{AO=BO}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴BD=AC．
（2）解：由（1）得：△AOC≌△BOD，
∴∠OAC=∠OBD，
∴∠OAC+∠OAB+∠ABC=∠OBD+∠ABC+∠OAB=∠OBA+∠OAB=90°，
∴∠ACB=180°-90°=90°；
（3）解：∠AEB的度數(shù)不變化，∠AEB=90°；理由如下：
如圖所示：由（1）得：△AOC≌△BOD，
∴∠OAC=∠OBD，
∵∠AFE=∠OAB+∠ABE，
∴∠OAC+∠AFE=∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠AEB=180°-90°=90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．